Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\frac{x-3}{x+1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với $2$ trục tọa độ lập thành một tam giác cân.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Hàm số đã cho xác định với $\forall x
eq -1$. Ta có: $y'=\frac{4}{\left( x+1 ight)^{2}}$ Gọi $M\left( x_0;y_0 ight)$ là tọa độ tiếp điểm, $x_0
eq -1$. Suy ra phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của $\left( C ight)$ tại $M$ là: $y=\frac{4}{\left( x_0+1 ight)^{2}}\left( x-x_0 ight)+\frac{x_0-3}{x_0+1}$ với $f'\left( x_0 ight)=\frac{4}{\left( x_0+1 ight)^{2}}$ và $y_0=\frac{x_0-3}{x_0+1}$ Tiếp tuyến tạo với $2$ trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng $\pm 1$. Mặt khác: $f'\left( x_0 ight)>0$, nên ta suy ra $f'\left( x_0 ight)=1$ Tức $\frac{4}{\left( x_0+1 ight)^{2}}=1\Leftrightarrow \left( x_0+1 ight)^{2}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0+1=2 \ x_0+1=-2 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=1 \ x_0=-3 \end{array} ight.$. $*$ Với $x_0=1\Rightarrow y_0=-1\Rightarrow \Delta :y=x-2$ $*$ Với $x_0=-3\Rightarrow y_0=3\Rightarrow \Delta :y=x+6$ Vậy, có $2$ tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: $y=x-2$, $y=x+6$.

Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 71