Cho hai hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ đều có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn: $f^{3}\left( 2-x \right)-2f^{2}\left( 2+3x \right)+x^{2}.g\left( x \right)+36x=0$, với $\forall x\in \mathbb{R}$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x_0=2.$

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Với $\forall x\in \mathbb{R}$, ta có $f^{3}(2-x)-2f^{2}\left( 2+3x ight)+x^{2}.g\left( x ight)+36x=0.$ Thay $x=0$, ta có $f^{3}\left( 2 ight)-2f^{2}\left( 2 ight)=0\,\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( 2 ight)=0 \ f\left( 2 ight)=2 \end{array} ight.$ Đạo hàm hai vế của $\left( 1 ight)$, ta được $-3f^{2}\left( 2-x ight).f'\left( 2-x ight)-12f\left( 2+3x ight).f'\left( 2+3x ight)+2x.g\left( x ight)+x^{2}.g'\left( x ight)+36=0.$ Thay $x=0$, ta có $-3f^{2}\left( 2 ight).f'\left( 2 ight)-12f\left( 2 ight).f'\left( 2 ight)+36=0\ \ \ \ \left( * ight)$. Với $f\left( 2 ight)=0$, thế vào $\left( * ight)$ ta được $36=0$ (vô lí). Với $f\left( 2 ight)=2$, thế vào $\left( * ight)$ ta được $-36.f'\left( 2 ight)+36=0$ $\Leftrightarrow f'\left( 2 ight)=1$. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=1\left( x-2 ight)+2\Leftrightarrow y=x.$

Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 69