Bài tập nâng cao · Bài 68
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 68
Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{x^{2}+2x-1}{x-2}$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right)$ vuông góc với đường thẳng $d:y=\frac{1}{6}x+2020$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a\,,\,b$ nguyên tố cùng nhau. Hãy tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$ biết rằng hoành độ tiếp điểm lớn hơn 2.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f\left( x \right)=\frac{x^{2}+2x-1}{x-2}\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{x^{2}-4x-3}{\left( x-2 \right)^{2}}$.
Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên $f'\left( x_0 \right).\frac{1}{6}=-1\Leftrightarrow f'\left( x_0 \right)=-6$.
$\Leftrightarrow \frac{x_0^{2}-4x_0-3}{\left( x_0-2 \right)^{2}}=-6\Leftrightarrow 7x_0^{2}-28x_0+21=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=1\text{(loai)} \\ x_0=3\text{(n)} \end{array} \right.$
Với $x_0=3\Rightarrow y_0=14$ $\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến là $y=-6\left( x-3 \right)+14\Leftrightarrow 6x+y-32=0$.
$\Rightarrow a=6,b=1,c=-32\Rightarrow P=-25$.
Gọi $x_0$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$.
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên $f'\left( x_0 \right).\frac{1}{6}=-1\Leftrightarrow f'\left( x_0 \right)=-6$.
$\Leftrightarrow \frac{x_0^{2}-4x_0-3}{\left( x_0-2 \right)^{2}}=-6\Leftrightarrow 7x_0^{2}-28x_0+21=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=1\text{(loai)} \\ x_0=3\text{(n)} \end{array} \right.$
Với $x_0=3\Rightarrow y_0=14$ $\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến là $y=-6\left( x-3 \right)+14\Leftrightarrow 6x+y-32=0$.
$\Rightarrow a=6,b=1,c=-32\Rightarrow P=-25$.