Bài tập nâng cao · Bài 66
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 66
Gọi $M$ là điểm tùy ý nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{4x-3}{2x+1}\ \left( C \right)$. Tiếp tuyến tại $M$ của đồ thị $\left( C \right)$ cắt hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ tạo thành một tam giác có diện tích bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M\left( x_0;y_0 \right)$ là điểm nằm trên đồ thị hàm số, $x_0\neq -\frac{1}{2}$. Ta có $y'=\frac{10}{\left( 2x+1 \right)^{2}}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y=y'(x_0)\left( x-x_0 \right)+y_0$.
$\Leftrightarrow y=\frac{10}{\left( 2x_0+1 \right)^{2}}\left( x-x_0 \right)+\frac{4x_0-3}{2x_0+1}$.
Tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang là $y=2$.
Gọi $A$ là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng $\Rightarrow x_A=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y_A=\frac{10}{\left( 2x_0+1 \right)^{2}}\left( -\frac{1}{2}-x_0 \right)+\frac{4x_0-3}{2x_0+1}=\frac{4x_0-8}{2x_0+1}$ $\Rightarrow A\left( -\frac{1}{2};\frac{4x_0-8}{2x_0+1} \right)$.
Gọi $B$ là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang $\Rightarrow y_B=2$ $\Rightarrow 2=\frac{10}{\left( 2x_0+1 \right)^{2}}\left( x_B-x_0 \right)+\frac{4x_0-3}{2x_0+1}$ $\Rightarrow x_B=2x_0+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow B\left( \frac{4x_0+1}{2};2 \right)$.
Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I\left( -\frac{1}{2};2 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 0;-\frac{10}{2x_0+1} \right)\Rightarrow IA=\left| \frac{10}{2x_0+1} \right|$
$\overrightarrow{IB}=\left( 2x_0+1;0 \right)\Rightarrow IB=\left| 2x_0+1 \right|$
Tam giác $IAB$ vuông tại $I$ nên $S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}\left| \frac{10}{2x_0+1} \right|.\left| 2x_0+1 \right|=5$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y=y'(x_0)\left( x-x_0 \right)+y_0$.
$\Leftrightarrow y=\frac{10}{\left( 2x_0+1 \right)^{2}}\left( x-x_0 \right)+\frac{4x_0-3}{2x_0+1}$.
Tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang là $y=2$.
Gọi $A$ là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng $\Rightarrow x_A=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y_A=\frac{10}{\left( 2x_0+1 \right)^{2}}\left( -\frac{1}{2}-x_0 \right)+\frac{4x_0-3}{2x_0+1}=\frac{4x_0-8}{2x_0+1}$ $\Rightarrow A\left( -\frac{1}{2};\frac{4x_0-8}{2x_0+1} \right)$.
Gọi $B$ là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang $\Rightarrow y_B=2$ $\Rightarrow 2=\frac{10}{\left( 2x_0+1 \right)^{2}}\left( x_B-x_0 \right)+\frac{4x_0-3}{2x_0+1}$ $\Rightarrow x_B=2x_0+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow B\left( \frac{4x_0+1}{2};2 \right)$.
Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I\left( -\frac{1}{2};2 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left( 0;-\frac{10}{2x_0+1} \right)\Rightarrow IA=\left| \frac{10}{2x_0+1} \right|$
$\overrightarrow{IB}=\left( 2x_0+1;0 \right)\Rightarrow IB=\left| 2x_0+1 \right|$
Tam giác $IAB$ vuông tại $I$ nên $S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}\left| \frac{10}{2x_0+1} \right|.\left| 2x_0+1 \right|=5$.