Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 63
Cho hàm số $y=x^{4}-2mx^{2}+m$, có đồ thị $\left( C \right)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có hoành độ bằng $1$. Tìm $m$ để tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $\left( C \right)$ tại $A$ cắt đường tròn $\left( \gamma \right):\,x^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Đường tròn $\left( \gamma \right):\,x^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=4$ có tâm $I\left( 0;\,1 \right)$, $R=2$.
Ta có $A\left( 1;\,1-m \right)$; $y'=4x^{3}-4mx\Rightarrow y'\left( 1 \right)=4-4m$.
Suy ra phương trình $\Delta$: $y=\left( 4-4m \right)\left( x-1 \right)+1-m$. Dễ thấy $\Delta$ luôn đi qua điểm cố định $F\left( \frac{3}{4};\,0 \right)$ và điểm $F$ nằm trong đường tròn $\left( \gamma \right)$.
Giả sử $\Delta$ cắt $\left( \gamma \right)$ tại $M$, $N$. Thế thì ta có: $MN=2\sqrt{R^{2}-d^{2}\left( I,\,\Delta \right)}=2\sqrt{4-d^{2}\left( I,\,\Delta \right)}$.
Do đó $MN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I,\,\Delta \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow d\left( I,\Delta \right)=IF$ $\Rightarrow \Delta \perp IF$.
Khi đó đường $\Delta$ có 1 vectơ chỉ phương $u\perp \overrightarrow{IF}=\left( \frac{3}{4};\,-1 \right)$; $u=\left( 1;\,\,4-4m \right)$ nên ta có:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow 1.\frac{3}{4}-\left( 4-4m \right)=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{13}{16}$.
