Bài tập nâng cao · Bài 62
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 62
Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x+3}\,\,\left( C \right)$, đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$, biết tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$ với $O$ là gốc tọa độ. Tính $S=a^{2}+b^{2}$?
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định $D=R\setminus \left\{ \frac{-3}{2} \right\}$.
Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=1$ hoặc $k=-1$.
Khi đó hoành độ tiếp điểm $x_0$ là nghiệm của phương trình:
$y'\left( x_0 \right)=k\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{-1}{(2x_0+3)^{2}}=1\ \text{(VN)} \\ \frac{-1}{(2x_0+3)^{2}}=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{-1}{(2x_0+3)^{2}}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=-1 \\ x_0=-2 \end{array} \right.$
Với $x_0=-1\Rightarrow y_0=1$, phương trình tiếp tuyến là $y=-x$ (loại vì cắt trục tung và trục hoành tại $O$ nên $A\equiv B\equiv O$).
Với $x_0=-2\Rightarrow y_0=0$, phương trình tiếp tuyến là $y=-x-2$ (thỏa mãn).
Vậy tiếp tuyến là: $y=-x-2$ $\Rightarrow S=a^{2}+b^{2}=5$.
Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=1$ hoặc $k=-1$.
Khi đó hoành độ tiếp điểm $x_0$ là nghiệm của phương trình:
$y'\left( x_0 \right)=k\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{-1}{(2x_0+3)^{2}}=1\ \text{(VN)} \\ \frac{-1}{(2x_0+3)^{2}}=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{-1}{(2x_0+3)^{2}}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=-1 \\ x_0=-2 \end{array} \right.$
Với $x_0=-1\Rightarrow y_0=1$, phương trình tiếp tuyến là $y=-x$ (loại vì cắt trục tung và trục hoành tại $O$ nên $A\equiv B\equiv O$).
Với $x_0=-2\Rightarrow y_0=0$, phương trình tiếp tuyến là $y=-x-2$ (thỏa mãn).
Vậy tiếp tuyến là: $y=-x-2$ $\Rightarrow S=a^{2}+b^{2}=5$.