Bài tập nâng cao · Bài 61
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 61
Cho hàm số $y=x^{3}+3mx^{2}+\left( m+1 \right)x+1$. Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x=-1$. Tìm $m$ sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến $\Delta$ là lớn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M$ là điểm thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng $-1$ $\Rightarrow M\left( -1\,;\,2m-1 \right)$.
$y'=3x^{2}+6mx+m+1$
$y'\left( -1 \right)=4-5m$
Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $y=\left( 4-5m \right)\left( x+1 \right)+2m-1$ $\Leftrightarrow \left( 5m-4 \right)x+y+3m-3=0$
Nhận thấy đường thẳng $\Delta$ luôn đi qua điểm cố định $A\left( -\frac{3}{5}\,;\,\frac{3}{5} \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$. Ta có $OH\leq OA$ $\Rightarrow d\left( O,\Delta \right)\leq \frac{3\sqrt{2}}{5}$.
Dấu bằng xảy ra khi $H\equiv A$ hay $OA\perp \Delta$.
$\Delta$ có hệ số góc $k_1=4-5m$.
$OA$ có hệ số góc $k_2=-1$.
$OA\perp \Delta$ nên $k_1.k_2=-1\Leftrightarrow \left( 4-5m \right).\left( -1 \right)=-1\Leftrightarrow m=\frac{3}{5}$.
$y'=3x^{2}+6mx+m+1$
$y'\left( -1 \right)=4-5m$
Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $y=\left( 4-5m \right)\left( x+1 \right)+2m-1$ $\Leftrightarrow \left( 5m-4 \right)x+y+3m-3=0$
Nhận thấy đường thẳng $\Delta$ luôn đi qua điểm cố định $A\left( -\frac{3}{5}\,;\,\frac{3}{5} \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\Delta$. Ta có $OH\leq OA$ $\Rightarrow d\left( O,\Delta \right)\leq \frac{3\sqrt{2}}{5}$.
Dấu bằng xảy ra khi $H\equiv A$ hay $OA\perp \Delta$.
$\Delta$ có hệ số góc $k_1=4-5m$.
$OA$ có hệ số góc $k_2=-1$.
$OA\perp \Delta$ nên $k_1.k_2=-1\Leftrightarrow \left( 4-5m \right).\left( -1 \right)=-1\Leftrightarrow m=\frac{3}{5}$.