Bài tập nâng cao · Bài 60
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 60
Cho hàm số $y=x^{3}-mx^{2}+2m$, có đồ thị $\left( C \right)$ với $m$ là tham số thực. Gọi $A$ là điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có hoành độ bằng 1. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ với đồ thị $\left( C \right)$ tại $A$ biết tiếp tuyến cắt đường tròn $\left( \gamma \right)$: $x^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=9$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Theo giả thiết ta có $x_A=1$ $\Rightarrow y_A=1+m$. Vậy $A\left( 1;\,1+m \right)$.
Ta có $y'=3x^{2}-2mx$ $\Rightarrow y'\left( 1 \right)=3-2m$.
Do đó phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A\left( 1;\,1+m \right)$ là $y=\left( 3-2m \right)\left( x-1 \right)+1+m$ $\left( \Delta \right)$
$\Delta$ luôn đi qua điểm cố định $E\left( \frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)$, đường tròn $\left( \gamma \right)$ có tâm $I\left( 0;1 \right)$ bán kính $R=3$.
Dễ có $IE < R$ nên $E$ nằm trong đường tròn $\left( \gamma \right)$, khi đó $\left( \Delta \right)$ đi qua $E$ và cắt $\left( \gamma \right)$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $\left( \Delta \right)$ nhận $\overrightarrow{IE}$ là một vecto pháp tuyến, từ đó tìm được $m=2$. Vậy $\left( \Delta \right)$ $y=-1\left( x-1 \right)+1+2$ hay $y=-x+4$.
Ta có $y'=3x^{2}-2mx$ $\Rightarrow y'\left( 1 \right)=3-2m$.
Do đó phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A\left( 1;\,1+m \right)$ là $y=\left( 3-2m \right)\left( x-1 \right)+1+m$ $\left( \Delta \right)$
$\Delta$ luôn đi qua điểm cố định $E\left( \frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)$, đường tròn $\left( \gamma \right)$ có tâm $I\left( 0;1 \right)$ bán kính $R=3$.
Dễ có $IE < R$ nên $E$ nằm trong đường tròn $\left( \gamma \right)$, khi đó $\left( \Delta \right)$ đi qua $E$ và cắt $\left( \gamma \right)$ theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất thì $\left( \Delta \right)$ nhận $\overrightarrow{IE}$ là một vecto pháp tuyến, từ đó tìm được $m=2$. Vậy $\left( \Delta \right)$ $y=-1\left( x-1 \right)+1+2$ hay $y=-x+4$.