Bài tự luận · Bài 23
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 23
Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả:
a) 15 điểm;
b) Bị điểm âm.
a) 15 điểm;
b) Bị điểm âm.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ x $ là số câu trả lời đúng. $ 10-x $ là số câu trả lời sai. Thí sinh được $ 4x-(10-x)= $ $ 5x-10 $ điểm. Ta có $ 5x-10=15 $. Vậy $ x=5 $, tức là thí sinh được 15 điểm nếu trả lời đúng 5 câu.
Gọi $ A $ là biến cố: "Thí sinh được 15 điểm". Ta có một phép thử lặp với $ n=10 $ và $ p=0,25 $. Ta có $ P(A)=P\left ( { E_{ 5 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 5 }\cdot 0,25 ^ { 5 } \cdot 0,75 ^ { 5 } \approx 0,0584 $.
Thí sinh được điểm âm khi $ 5x-10 < 0 $ hay $ x < 2 $, tức là thí sinh được điểm âm nếu trả lời đúng nhiều nhất 1 câu. Gọi $ B $ là biến cố: "Thí sinh được điểm âm". Ta có:
$ B=E_{ 0 } \cup E_{ 1 } \Rightarrow P(B)=P\left ( { E_{ 0 } \cup E_{ 1 } } \right )=P\left ( { E_{ 0 } } \right )+P\left ( { E_{ 1 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 0 }\cdot 0,25 ^ { 0 } \cdot 0,75 ^ { 10 } +C_{ 10 } ^{ 1 }\cdot 0,25 ^ { 1 } \cdot 0,75 ^ { 9 } \approx 0,244 $
Gọi $ A $ là biến cố: "Thí sinh được 15 điểm". Ta có một phép thử lặp với $ n=10 $ và $ p=0,25 $. Ta có $ P(A)=P\left ( { E_{ 5 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 5 }\cdot 0,25 ^ { 5 } \cdot 0,75 ^ { 5 } \approx 0,0584 $.
Thí sinh được điểm âm khi $ 5x-10 < 0 $ hay $ x < 2 $, tức là thí sinh được điểm âm nếu trả lời đúng nhiều nhất 1 câu. Gọi $ B $ là biến cố: "Thí sinh được điểm âm". Ta có:
$ B=E_{ 0 } \cup E_{ 1 } \Rightarrow P(B)=P\left ( { E_{ 0 } \cup E_{ 1 } } \right )=P\left ( { E_{ 0 } } \right )+P\left ( { E_{ 1 } } \right )=C_{ 10 } ^{ 0 }\cdot 0,25 ^ { 0 } \cdot 0,75 ^ { 10 } +C_{ 10 } ^{ 1 }\cdot 0,25 ^ { 1 } \cdot 0,75 ^ { 9 } \approx 0,244 $