Bài tự luận · Bài 23
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 23
Tiếp tục xét tình huống mở đầu, giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II.
a) Hỏi trung bình Minh nhận được bao nhiêu điểm?
b) Ở vòng 1 Minh nên chọn loại câu hỏi nào?
Hướng dẫn
Gọi $ Y $ là số điểm Minh nhận được. Số điểm trung bình Minh nhận được là $ E(Y) $. Tương tự như Ví dụ 6, ta lập bảng phân bố xác suất của $ Y $ từ đó tính được $ E(Y) $.
Nếu $ E(Y) < E(X) $ thì ở vòng 1 Minh nên chọn câu hỏi loại I.
Nếu $ E(Y)>E(X) $ thì ở vòng 1 Minh nên chọn câu hỏi loại II.
a) Hỏi trung bình Minh nhận được bao nhiêu điểm?
b) Ở vòng 1 Minh nên chọn loại câu hỏi nào?
Hướng dẫn
Gọi $ Y $ là số điểm Minh nhận được. Số điểm trung bình Minh nhận được là $ E(Y) $. Tương tự như Ví dụ 6, ta lập bảng phân bố xác suất của $ Y $ từ đó tính được $ E(Y) $.
Nếu $ E(Y) < E(X) $ thì ở vòng 1 Minh nên chọn câu hỏi loại I.
Nếu $ E(Y)>E(X) $ thì ở vòng 1 Minh nên chọn câu hỏi loại II.
Xem lời giải
Lời giải
a) Giả sử ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II. Gọi $ Y $ là số điểm Minh nhận được. Ta lập bảng phân bố xác suất của $ Y $.
Gọi $ A $ là biến cố: "Minh trả lời đúng câu hỏi loại I"; $ B $ là biến cố: "Minh trả lời đúng câu hỏi loại II". $ P(A)=0,8;P(B)=0,6{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
+) Nếu trả lời sai: Minh được 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây.
Vậy $ P(Y=0)=P( \bar B)=1-P(B)=1-0,6=0,4 $.
+) Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2, bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I. Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi với số điểm nhận được là $ 80+0=80 $ điểm. Theo giả thiết $ A $ và $ B $ là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có
$ P(Y=80)=P(B \bar A)=P(B)\cdot P( \bar A)=0,6(1-0,8)=0,12. $
Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây và Minh được $ 20+80=100 $ điểm. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có
$ P(Y=100)=P(BA)=P(B)\cdot P(A)=0,6\cdot 0,8=0,48{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Bảng phân bố xác suất của $ Y $ là
$ Y $ 0 80 100
$ P $ 0,4 0,12 0,48
Từ đó
$ E(Y)=0\cdot 0,4+80\cdot 0,12+100\cdot 0,48=57,6. $
Vậy trung bình Minh được 57,6 điểm.
b) Theo Ví dụ 6 ta có $ E(X)=54,4 $. Vì $ E(Y)>E(X) $ nên nếu ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II thì trung bình Minh được nhiểu điểm hơnn. Vậy ở vòng 1, Minh nên chọn câu hỏi loại II.
Gọi $ A $ là biến cố: "Minh trả lời đúng câu hỏi loại I"; $ B $ là biến cố: "Minh trả lời đúng câu hỏi loại II". $ P(A)=0,8;P(B)=0,6{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
+) Nếu trả lời sai: Minh được 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây.
Vậy $ P(Y=0)=P( \bar B)=1-P(B)=1-0,6=0,4 $.
+) Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2, bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I. Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi với số điểm nhận được là $ 80+0=80 $ điểm. Theo giả thiết $ A $ và $ B $ là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có
$ P(Y=80)=P(B \bar A)=P(B)\cdot P( \bar A)=0,6(1-0,8)=0,12. $
Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây và Minh được $ 20+80=100 $ điểm. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có
$ P(Y=100)=P(BA)=P(B)\cdot P(A)=0,6\cdot 0,8=0,48{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Bảng phân bố xác suất của $ Y $ là
$ Y $ 0 80 100
$ P $ 0,4 0,12 0,48
Từ đó
$ E(Y)=0\cdot 0,4+80\cdot 0,12+100\cdot 0,48=57,6. $
Vậy trung bình Minh được 57,6 điểm.
b) Theo Ví dụ 6 ta có $ E(X)=54,4 $. Vì $ E(Y)>E(X) $ nên nếu ở vòng 1 Minh chọn câu hỏi loại II thì trung bình Minh được nhiểu điểm hơnn. Vậy ở vòng 1, Minh nên chọn câu hỏi loại II.