Bài tập nâng cao · Bài 33
DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 33
Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $I,J$ là hai điểm cố định trên $SA,SC$ với $SI>IA$ và $SJ<JC$. Một mặt phẳng $\left( P \right)$ quay quanh $IJ$ cắt $SB$ tại $M$, $SD$ tại $N$.
a. Chứng minh rằng $IJ,MN,SO$ đồng quy ($O=AC\cap BD$). Suy ra cách dựng điểm $N$ khi biết $M$.
b. $AD$ cắt $BC$ tại $E$, $IN$ cắt $JM$ tại $F$. Chứng minh $S,E,F$ thẳng hàng.
a. Chứng minh rằng $IJ,MN,SO$ đồng quy ($O=AC\cap BD$). Suy ra cách dựng điểm $N$ khi biết $M$.
b. $AD$ cắt $BC$ tại $E$, $IN$ cắt $JM$ tại $F$. Chứng minh $S,E,F$ thẳng hàng.
Xem lời giải
Lời giải
a. Tìm $\left( SO \right)\cap\left( P \right)=?$
Phương án 1:
$SO\subset\left( SAC \right)$
$\left( SAC \right)\cap\left( P \right)=IJ$
$SO\cap IJ=K\Rightarrow K=SO\cap\left( P \right)$.
Phương án 2:
$SO\subset\left( SBD \right)$
$\left( SBD \right)\cap\left( P \right)=MN$.
$SO\cap MN=K'\Rightarrow K'=SO\cap\left( P \right)$.
Do $K,K'$ đều là giao điểm của $SO$ và $\left( P \right)$ nên $K\equiv K'$.
Cách dựng $N$.
Gọi $K=IJ\cap SO$.
Lấy $M$ bất kỳ trên $SB$. Nối $MK$ cắt $SD$ tại 1 điểm thì đó là điểm $N$ cần dựng.
b. Chứng minh $S,E,F$ thẳng hàng.
$E=AD\cap BC\Rightarrow E\in\left( SAD \right)\cap\left( SBC \right)$
$F=IN\cap MJ\Rightarrow F\in\left( SAD \right)\cap\left( SBC \right)$
$S\in\left( SAD \right)\cap\left( SBC \right)$
Suy ra $S,E,F$ thẳng hàng.