Bài tập nâng cao · Bài 84
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 84
Cho hàm số $y=x^3-3x^2+1$ có đồ thị (C). Gọi $A,B$ thuộc đồ thị (C) có hoành độ $a,b$ sao cho tiếp tuyến của (C) tại $A$ và $B$ song song với nhau và độ dài đoạn $AB=4\sqrt{2}$. Khi đó tích $a.b$ có giá trị bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử $A(a;a^3-3a^2+1),\ \ B(b;b^3-3b^2+1)$ thuộc (C), với $a\neq b$.
Vì tiếp tuyến của (C) tại $A$ và $B$ song song với nhau nên:
$y'\left( a \right)=y'\left( b \right)$ $3a^2-6a=3b^2-6b\Leftrightarrow a^2-b^2-2(a-b)=0\Leftrightarrow (a-b)(a+b-2)=0$
$a+b-2=0\Leftrightarrow b=2-a$. Vì $a\neq b$ nên $a\neq 2-a\Leftrightarrow a\neq 1$.
Ta có: $AB=\sqrt{(b-a)^2+(b^3-3b^2+1-a^3+3a^2-1)^2}=\sqrt{(b-a)^2+(b^3-a^3-3(b^2-a^2))^2}$
$=\sqrt{(b-a)^2+\left[ (b-a)^3+3ab(b-a)-3(b-a)(b+a) \right]^2}$ $=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2\left[ (b-a)^2+3ab-3.2 \right]^2}$
$=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2\left[ (b+a)^2-ab-6 \right]^2}$ $=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2(-2-ab)^2}$.
$AB^2=(b-a)^2\left[ 1+(-2-ab)^2 \right]=(2-2a)^2\left[ 1+(a^2-2a-2)^2 \right]$
$=4(a-1)^2\left[ 1+\left[ (a-1)^2-3 \right]^2 \right]=4(a-1)^2\left[ (a-1)^4-6(a-1)^2+10 \right]$
$=4(a-1)^6-24(a-1)^4+40(a-1)^2$.
Mà $AB=4\sqrt{2}$ nên $4(a-1)^6-24(a-1)^4+40(a-1)^2=32$
$\Leftrightarrow (a-1)^6-6(a-1)^4+10(a-1)^2-8=0$. (*)
Đặt $t=(a-1)^2,\ \ t>0$. Khi đó (*) trở thành: $t^3-6t^2+10t-8=0\Leftrightarrow (t-4)(t^2-2t+2)=0\Leftrightarrow t=4$ $(a-1)^2=4\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=3\Rightarrow b=-1\\a=-1\Rightarrow b=3\end{array}\right.$.
Vậy $a.b=-3$.
Vì tiếp tuyến của (C) tại $A$ và $B$ song song với nhau nên:
$y'\left( a \right)=y'\left( b \right)$ $3a^2-6a=3b^2-6b\Leftrightarrow a^2-b^2-2(a-b)=0\Leftrightarrow (a-b)(a+b-2)=0$
$a+b-2=0\Leftrightarrow b=2-a$. Vì $a\neq b$ nên $a\neq 2-a\Leftrightarrow a\neq 1$.
Ta có: $AB=\sqrt{(b-a)^2+(b^3-3b^2+1-a^3+3a^2-1)^2}=\sqrt{(b-a)^2+(b^3-a^3-3(b^2-a^2))^2}$
$=\sqrt{(b-a)^2+\left[ (b-a)^3+3ab(b-a)-3(b-a)(b+a) \right]^2}$ $=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2\left[ (b-a)^2+3ab-3.2 \right]^2}$
$=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2\left[ (b+a)^2-ab-6 \right]^2}$ $=\sqrt{(b-a)^2+(b-a)^2(-2-ab)^2}$.
$AB^2=(b-a)^2\left[ 1+(-2-ab)^2 \right]=(2-2a)^2\left[ 1+(a^2-2a-2)^2 \right]$
$=4(a-1)^2\left[ 1+\left[ (a-1)^2-3 \right]^2 \right]=4(a-1)^2\left[ (a-1)^4-6(a-1)^2+10 \right]$
$=4(a-1)^6-24(a-1)^4+40(a-1)^2$.
Mà $AB=4\sqrt{2}$ nên $4(a-1)^6-24(a-1)^4+40(a-1)^2=32$
$\Leftrightarrow (a-1)^6-6(a-1)^4+10(a-1)^2-8=0$. (*)
Đặt $t=(a-1)^2,\ \ t>0$. Khi đó (*) trở thành: $t^3-6t^2+10t-8=0\Leftrightarrow (t-4)(t^2-2t+2)=0\Leftrightarrow t=4$ $(a-1)^2=4\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=3\Rightarrow b=-1\\a=-1\Rightarrow b=3\end{array}\right.$.
Vậy $a.b=-3$.