Cho đồ thị $\left( C \right):y=\frac{3x-2}{x-1}$ và $A\left( 9;\ 0 \right)$. Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( 9;\ 0 \right)$. Biết tổng hệ số góc của hai tiếp tuyến đó có dạng $-\frac{a}{b}$ ( với $a,b$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ là bao nhiêu?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus\left\{ 1 ight\}$ Ta có: $y'=\frac{-1}{\left( x-1 ight)^2}$ Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 9;\ 0 ight)$ với hệ số góc $k$ có phương trình $y=k\left( x-9 ight)$ Đường thẳng $d$ tiếp xúc với đồ thị $(C)$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}\frac{3x-2}{x-1}=k\left( x-9 ight)\ \ \left( 1 ight)\\frac{-1}{\left( x-1 ight)^2}=k\ \ \left( 2 ight)\end{array}ight.$ Thế $\left( 2 ight)$ vào $\left( 1 ight)$, ta có: $\frac{3x-2}{x-1}=\frac{-1}{\left( x-1 ight)^2}\left( x-9 ight)\Leftrightarrow \left( x-1 ight).\left( 3x-2 ight)=-\left( x-9 ight)\Leftrightarrow 3x^2-4x-7=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1\x=\frac{7}{3}\end{array}ight.$ Do đó tổng hệ số góc của hai tiếp tuyến đó bằng $y'\left( -1 ight)+y'\left( \frac{7}{3} ight)=-\frac{1}{4}+\left( -\frac{9}{16} ight)=-\frac{13}{16}$ Khi đó $a+b=13+16=29$

Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 85