Biết đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\frac{x+1}{x-1}$ và đường thẳng $d:y=2x+m$ giao nhau tại hai điểm phân biệt $A,\ B$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau. Giá trị của $m$ thuộc khoảng nào sau đây:

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+1}{x-1}=2x+m\Leftrightarrow x+1=\left( x-1 ight)\left( 2x+m ight)\Leftrightarrow 2x^2+\left( m-3 ight)x-m-1=0\ \ \left( 1 ight).$ Để đồ thị $\left( C ight)$ và đường thẳng $d$ giao nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thì phương trình $\left( 1 ight)$ có 2 nghiệm phân biệt, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta >0\Leftrightarrow \left( m-3 ight)^2+8\left( m+1 ight)>0\Leftrightarrow \left( m+1 ight)^2+16>0$ (luôn đúng $\forall m\in \mathbb{R}$) Vậy $d$ và $\left( C ight)$ luôn giao nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B.$ Gọi $x_1,\ x_2\ \left( x_1
eq x_2 ight)$ lần lượt là hoành độ của $A$ và $B$ thì $x_1,\ x_2$ là hai nghiệm của $\left( 1 ight).$ Hệ số góc tiếp tuyến tại $A$ và $B$ lần lượt là $k_1=y'\left( x_1 ight)=\frac{-2}{\left( x_1-1 ight)^2};\ k_2=y'\left( x_2 ight)=\frac{-2}{\left( x_2-1 ight)^2}$ Để hai tiếp tuyến này song song thì $k_1=k_2\Leftrightarrow \left( x_1-1 ight)^2=\left( x_2-1 ight)^2
eq 0\Leftrightarrow x_1-1=1-x_2$ (do $x_1
eq x_2$) $\Leftrightarrow x_1+x_2=2.$ Theo định lý Vi-et: $x_1+x_2=\frac{3-m}{2}$ suy ra $\frac{3-m}{2}=2\Leftrightarrow m=-1.$ Vậy $m\in \left[ -2\,;\,0 ight).$

Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 86