Bài tập nâng cao · Bài 83
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 83
Cho hàm số $y=f\left( x \right)=x^3+6x^2+9x+3\ \ \left( C \right)$. Tồn tại hai tiếp tuyến của $\left( C \right)$ phân biệt và có cùng hệ số góc $k$, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục $Ox,\ \ Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA=2017.OB$. Hỏi có bao nhiêu giá trị của $k$ thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M_1\left( x_1;f\left( x_1 \right) \right)$, $M_2\left( x_2;f\left( x_2 \right) \right)$ là hai tiếp điểm mà tại đó các tiếp tuyến của $\left( C \right)$ có cùng hệ số góc $k$.
Ta có $y'=3x^2+12x+9$.
Khi đó $k=3x_1^2+12x_1+9=3x_2^2+12x_2+9$ $\Leftrightarrow \left( x_1-x_2 \right)\left( x_1+x_2+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1-x_2=0\ \ \left( \text{loại do }x_1\neq x_2 \right)\\x_1+x_2=-4=S\end{array}\right.$ $\left( 1 \right)$
Hệ số góc của đường thẳng $M_1M_2$ là $k'=\pm\frac{OB}{OA}=\pm\frac{1}{2017}=\frac{f\left( x_2 \right)-f\left( x_1 \right)}{x_2-x_1}$
$\Leftrightarrow \pm\frac{1}{2017}=\left( x_1+x_2 \right)^2-x_1x_2+6\left( x_1+x_2 \right)+9$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1x_2=\frac{2016}{2017}=P\\x_1x_2=\frac{2018}{2017}=P\end{array}\right.$ $\left( 2 \right)$
Với $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-4=S\\x_1x_2=\frac{2016}{2017}=P\end{array}\right.$, do $S^2>4P$ nên tồn tại hai cặp $x_1,$ $x_2$ $\Rightarrow$ tồn tại $1$ giá trị $k$.
Với $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-4=S\\x_1x_2=\frac{2018}{2017}=P\end{array}\right.$, do $S^2>4P$ nên tồn tại hai cặp $x_1,$ $x_2$ $\Rightarrow$ tồn tại $1$ giá trị $k$.
Vậy có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có $y'=3x^2+12x+9$.
Khi đó $k=3x_1^2+12x_1+9=3x_2^2+12x_2+9$ $\Leftrightarrow \left( x_1-x_2 \right)\left( x_1+x_2+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1-x_2=0\ \ \left( \text{loại do }x_1\neq x_2 \right)\\x_1+x_2=-4=S\end{array}\right.$ $\left( 1 \right)$
Hệ số góc của đường thẳng $M_1M_2$ là $k'=\pm\frac{OB}{OA}=\pm\frac{1}{2017}=\frac{f\left( x_2 \right)-f\left( x_1 \right)}{x_2-x_1}$
$\Leftrightarrow \pm\frac{1}{2017}=\left( x_1+x_2 \right)^2-x_1x_2+6\left( x_1+x_2 \right)+9$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1x_2=\frac{2016}{2017}=P\\x_1x_2=\frac{2018}{2017}=P\end{array}\right.$ $\left( 2 \right)$
Với $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-4=S\\x_1x_2=\frac{2016}{2017}=P\end{array}\right.$, do $S^2>4P$ nên tồn tại hai cặp $x_1,$ $x_2$ $\Rightarrow$ tồn tại $1$ giá trị $k$.
Với $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-4=S\\x_1x_2=\frac{2018}{2017}=P\end{array}\right.$, do $S^2>4P$ nên tồn tại hai cặp $x_1,$ $x_2$ $\Rightarrow$ tồn tại $1$ giá trị $k$.
Vậy có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.