Cho phương trình $\log_{3}\Big|x^{2} - \sqrt{2}x\Big| = \log_{5}\Big(x^{2} - \sqrt{2}x + 2\Big)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Sai b) Sai c) Sai d) Đúng Lời giải a) Điều kiện của phương trình: $$ \left\{\begin{array}{l}\Big|x^{2} - \sqrt{2}x\Big| > 0\\ x^{2} - \sqrt{2}x + 2 > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \neq 0\\ x \neq \sqrt{2}\end{array}\right. $$ Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{0; \sqrt{2}\}$. b) Thay $x = 2$ vào phương trình ta được $\log_{3}\Big|4 - 2\sqrt{2}\Big| = \log_{5}\Big(6 - 2\sqrt{2}\Big)$, không thỏa mãn. c) Đặt $t = x^{2} - \sqrt{2}x \Rightarrow x^{2} - \sqrt{2}x + 2 = t + 2 \Rightarrow \log_{3}|t| = \log_{5}(t + 2)$. Đặt $\log_{3}|t| = \log_{5}(t + 2) = u$, ta có hệ phương trình: $$ \left\{\begin{array}{l}\log_{3}|t| = u\\ \log_{5}(t + 2) = u\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}|t| = 3^{u}\\ t + 2 = 5^{u}\end{array}\right. \Rightarrow \Big|5^{u} - 2\Big| = 3^{u} $$ d) Từ phương trình $\Big|5^{u} - 2\Big| = 3^{u}$, ta có hai trường hợp: $$ \left[\begin{array}{l}5^{u} - 2 = 3^{u}\\ 5^{u} - 2 = -3^{u}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}5^{u} - 3^{u} = 2\\ 5^{u} + 3^{u} = 2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}1 - \left(\frac{3}{5}\right)^{u} = 2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{u} \quad (1)\\ \left(\frac{3}{5}\right)^{u} + 2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{u} = 1 \quad (2)\end{array}\right. $$ * Xét phương trình $5^{u} + 3^{u} = 2$: Ta thấy $u = 0$ là một nghiệm duy nhất của phương trình vì vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hằng số. Với $u = 0 \Rightarrow t = -1 \Rightarrow x^{2} - \sqrt{2}x + 1 = 0$ (vô nghiệm). * Xét phương trình (2): $\left(\frac{3}{5}\right)^{u} + 2\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{u} = 1$: Ta thấy $u = 1$ là một nghiệm duy nhất của phương trình vì vế trái là hàm số nghịch biến. Với $u = 1 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow x^{2} - \sqrt{2}x - 3 = 0$. Phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt và theo định lý Vi-ét, tổng các nghiệm của phương trình bằng $\sqrt{2}$.