Tính tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - 3x + 2} + 2^{x^{2} + 6x + 5} = 2^{2x^{2} + 3x + 7} + 1$.

Lời giải Ta có $2x^{2} + 3x + 7 = (x^{2} - 3x + 2) + (x^{2} + 6x + 5)$. Khi đó: $$ 2^{x^{2} - 3x + 2} + 2^{x^{2} + 6x + 5} = 2^{2x^{2} + 3x + 7} + 1 $$ $$ \Leftrightarrow 2^{x^{2} - 3x + 2} + 2^{x^{2} + 6x + 5} = 2^{x^{2} - 3x + 2} \cdot 2^{x^{2} + 6x + 5} + 1 $$ $$ \Leftrightarrow \Big(2^{x^{2} - 3x + 2} - 1\Big) - 2^{x^{2} + 6x + 5}\Big(2^{x^{2} - 3x + 2} - 1\Big) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \Big(2^{x^{2} - 3x + 2} - 1\Big)\Big(1 - 2^{x^{2} + 6x + 5}\Big) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{x^{2} - 3x + 2} - 1 = 0 \\ 1 - 2^{x^{2} + 6x + 5} = 0 \end{array} \right. $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{x^{2} - 3x + 2} = 1 \\ 2^{x^{2} + 6x + 5} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^{2} - 3x + 2 = 0 \\ x^{2} + 6x + 5 = 0 \end{array} \right. $$ $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \\ x = -1 \\ x = -5 \end{array} \right. $$ Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $S = -3$.