(CTST11) Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính $AB=10$ m, một người xuất phát từ $A$ bơi thẳng theo dây cung $AC$ tạo với đường kính $AB$ một góc $\alpha \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$, rồi chạy bộ theo cung nhỏ $CB$ đến điểm $B$ (Hình).
Gọi $S(\alpha )$ là quãng đường người đó đã di chuyển.
a) Viết công thức tính $S(\alpha )$ theo $\alpha \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$.
b) Xét tính liên tục của hàm số $y=S(\alpha )$ trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$.
c) Tính các giới hạn $\lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} S(\alpha )$ và $\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^{+}} S(\alpha )$.
Xem lời giải
Lời giải
Kí hiệu $O$ là tâm hình tròn.
a) Do tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AC=AB\cos \alpha =10\cos \alpha $ (m).
Ta có $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=2\alpha $. Suy ra độ dài cung $CB$ là $l=OB\cdot \widehat{BOC}=5\cdot 2\alpha =10\alpha $ (m).
Quãng đường di chuyển (tính theo $m$) của người đó là
$S(\alpha )=AC+l=10\cos \alpha +10\alpha =10(\alpha +\cos \alpha )\left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$.
b) Do các hàm số $y=\alpha $ và $y=\cos \alpha $ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y=S(\alpha )$ liên tục trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$.
c) $\lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} S(\alpha )=\lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} 10(\alpha +\cos \alpha )=10\left( \lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} \alpha +\lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} \cos \alpha \right)$
$=10(0+1)=10.$
$\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^{+}} S(\alpha )=\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^{+}} 10(\alpha +\cos \alpha )=10\left( \lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^{+}} \alpha +\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^{+}} \cos \alpha \right)$
$=10\left( \frac{\pi}{2}+0 \right)=5\pi $
