(CTST11) Cho nửa đường tròn đường kính $AB=2$. Đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $A$, cắt nửa đường tròn tại $C$ và tạo với đường thẳng $AB$ góc $\alpha \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$.
Kí hiệu diện tích tam giác $ABC$ là $S(\alpha )$ (phụ thuộc vào $\alpha $). Xét tính liên tục của hàm số $S(\alpha )$ trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ và tính các giới hạn $\lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} S(\alpha ),\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}} S(\alpha )$.
Xem lời giải
Lời giải
$S(\alpha )=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 2\cos \alpha \cdot 2\sin \alpha =\sin 2\alpha ,\alpha \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$.
Do các hàm số $y=\sin 2\alpha $ đều liên tục trên $\mathbb{R}$, nên hàm số $y=S(\alpha )$ liên tục trên khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$.
$\lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} S(\alpha )=\lim\limits_{\alpha \to 0^{+}} \sin 2\alpha =0$
$\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^{-}} S(\alpha )=\lim\limits_{\alpha \to \frac{\pi}{2}^{-}} \sin 2\alpha =0.$
