Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài các cạnh $AB=3, AC=4, AD=6$ và các góc $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{\circ}, \widehat{CAD}=90^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$. (kết quả làm tròn đến phần trăm)

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A$ trùng gốc tọa độ, tia $AB$ nằm trên $Ox$ và $AC$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$. Khi đó $B(3;0;0)$. Vì $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ và $AC=4$ nên $C\left(4\cos 60^{\circ};4\sin 60^{\circ};0\right)=\left(2;2\sqrt{3};0\right)$. Gọi $\vec{u}=(x;y;z)$ là vectơ đơn vị cùng hướng $\vec{AD}$. Từ $\widehat{BAD}=60^{\circ}$ suy ra $x=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$; từ $\widehat{CAD}=90^{\circ}$ suy ra $\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0\Rightarrow y=-\frac{1}{2\sqrt{3}}$; và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\Rightarrow z=\sqrt{\frac{2}{3}}$. Do $AD=6$ nên $D\left(3;-\sqrt{3};2\sqrt{6}\right)$. Ta có $\vec{AB}=(3;0;0)$, $\vec{CD}=\left(1;-3\sqrt{3};2\sqrt{6}\right)$, $\vec{AC}=\left(2;2\sqrt{3};0\right)$. $\left[\vec{AB},\vec{CD}\right]=\left(0;-6\sqrt{6};-9\sqrt{3}\right)$, $\left[\vec{AB},\vec{CD}\right]\cdot\vec{AC}=-12\sqrt{18}=-36\sqrt{2}$, $\left|\left[\vec{AB},\vec{CD}\right]\right|=\sqrt{216+243}=3\sqrt{51}$. Vậy $d(AB,CD)=\frac{\left|\left[\vec{AB},\vec{CD}\right]\cdot\vec{AC}\right|}{\left|\left[\vec{AB},\vec{CD}\right]\right|}=\frac{36\sqrt{2}}{3\sqrt{51}}=\frac{4\sqrt{102}}{17}\approx 2,38$.