Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a\sqrt[] { 2 } $, $ AC=a\sqrt[] { 3 } $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ (ABCD) $. Biết thể tích khối chóp $ S.ABCD $bằng $ \frac { 2\sqrt[] { 2 }a ^ { 3 } } { 3 } $. Khi đó:

a) Đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \\ \end{array} ⇒BC⊥(SAB). \end{array} \right. $ b) Đúng. Ta có: $ AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } =AC ^ { 2 } ⇒\left ( { a\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } +BC ^ { 2 } =\left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } ⇒BC=a. $ Khi đó: $ V_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.SA.S_{ ABCD } ⇒\frac { 2\sqrt[] { 2 }a ^ { 3 } } { 3 }=\frac { 1 } { 3 }.SA.a\sqrt[] { 2 }.a⇒SA=2a. $ c) Sai. Trong mặt phẳng $ (SAB) $, kẻ $ AH⊥SB $ tại $ H $. (1) Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \\ \end{array} ⇒BC⊥(SAB)⇒AH⊥BC \end{array} \right. $. (2) Từ (1) và (2) suy ra $ AH⊥(SBC) $ tại $ H $, hay $ d(A,(SBC))=AH $. Tam giác $ SAB $ vuông tại $ A $ có đường cao $ AH $ nên: $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }⇒AH=\frac { SA⋅AB } { \sqrt[] { SA ^ { 2 } +AB ^ { 2 } } }=\frac { 2a⋅a\sqrt[] { 2 } } { \sqrt[] { 4a ^ { 2 } +2a ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3 }{ \rm{ . } } $ Vậy $ d(A,(SBC))=AH=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $ d) Đúng. Trong mặt phẳng $ (SAD) $, kẻ $ AK⊥SD $ tại $ K $. (3) Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AB⊥SA \\ AB⊥AD \\ \end{array} ⇒AB⊥(SAD)⇒AB⊥AK \end{array} \right. $.(4) Từ (3) và (4) suy ra $ AK $ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $ AB,SD $. Tam giác $ ACD $ vuông tại $ D $ nên $ AD=\sqrt[] { AC ^ { 2 } -CD ^ { 2 } }=\sqrt[] { 3a ^ { 2 } -2a ^ { 2 } }=a $. Tam giác $ SAD $ vuông tại $ A $ có đường cao $ AK $ nên $ \frac { 1 } { AK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }⇒AK=\frac { SA⋅AD } { \sqrt[] { SA ^ { 2 } +AD ^ { 2 } } }=\frac { 2a⋅a } { \sqrt[] { 4a ^ { 2 } +a ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 }{ \rm{ . } } $ Vậy $ d(AB,SD)=AK=\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $.