Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có các cạnh bên bằng $ a\sqrt[] { 2 } $, đáy là tam giác vuông tại $ A $, $ AB=a,\,AC=a\sqrt[] { 3 } $ và $ \alpha $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $. Biết rằng $ \tanα=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { b } $, với $ a,\,b∈\mathbb{N} $; phân số $ \frac { a } { b } $ tối giản. Tính $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $.

Kẻ $ AM⊥BC $ tại $ M $. Lại có $ AA'⊥BC $. Suy ra $ BC⊥\left ( { AMA' } \right )⇒BC⊥A'M $. Suy ra $ \left ( { \left ( { A'BC } \right ),\left ( { ABC } \right ) } \right )=\left ( { A'M,AM } \right )= \widehat { A'MA }=α $. Xét $ ΔABC $ vuông tại $ A $ có $ AM $ là đường cao$ ⇒\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AC ^ { 2 } }⇒AM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ Khi đó $ \tanα=\frac { AA' } { AM }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { 2\sqrt[] { 2 } } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { 2\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. Vậy $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } =13 $.