Bài tự luận · Bài 15
Dạng 2. Xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm - Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$ là $y=f^{′} \left( x_{0}\right)\left( x-x_{0}\right)+f\left( x_{0}\right)$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 15
(CTST11) Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $(H)$.
a) Viết tiếp tuyến của $(H)$ tại điểm $M\in (H)$ có $x_M=2$.
b) Viết tiếp tuyến của $(H)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=-x$.
c) Viết tiếp tuyến của $(H)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $N(1;-1)$.
a) Viết tiếp tuyến của $(H)$ tại điểm $M\in (H)$ có $x_M=2$.
b) Viết tiếp tuyến của $(H)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d:y=-x$.
c) Viết tiếp tuyến của $(H)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $N(1;-1)$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y'=f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$ trên khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
a) Phương trình tiếp tuyến của $(H)$ tại $M$ có hệ số góc $f'(2)=-1$ là:
$y-f(2)=f'(2)(x-2) \\ \Leftrightarrow y-2=-1(x-2) \\ \Leftrightarrow y=-x+4.$
b) Gọi $d_1$ là tiếp tuyến cần tìm của $(H)$ và $M_0\left( x_0;f\left( x_0 \right) \right)$ là tiếp điểm của $(H)$ và $d_1$.
Vì $d_1\parallel d$ nên $f'\left( x_0 \right)=-1$.
Suy ra $-\frac{1}{\left( x_0-1 \right)^2}=-1\Leftrightarrow \left( x_0-1 \right)^2=1\Leftrightarrow x_0-1=1$ hoặc $x_0-1=-1$ $\Leftrightarrow x_0=2$ hoặc $x_0=0$.
- Với $x_0=2$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(2;2)$ có hệ số góc $f'(2)=-1$ là:
$y-f(2)=f'(2)(x-2) \\ \Leftrightarrow y-2=-1(x-2) \\ \Leftrightarrow y=-x+4.$
- Với $x_0=0$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(0;0)$ có hệ số góc $f'(0)=-1$ là:
$y-f(0)=f'(0)(x-0) \\ \Leftrightarrow y-0=-1(x-0)$
$\Leftrightarrow y=-x$ (loại vì trùng với đường thẳng $d$).
Vậy tiếp tuyến của $(H)$ song song với đường thẳng $d$ là $d_1:y=-x+4$.
c) Gọi $a$ là tiếp tuyến cần tìm của $(H)$ và $A\left( x_0,f\left( x_0 \right) \right)$ là tiếp điểm của $H$ và $a$. Phương trình tiếp tuyến $a$ là:
$y-f\left( x_0 \right)=f'\left( x_0 \right)\left( x-x_0 \right).$
Vì $a$ qua điểm $N(1;-1)$ nên $-1-\frac{x_0}{x_0-1}=-\frac{1}{\left( x_0-1 \right)^2}\left( 1-x_0 \right)$
$\Leftrightarrow 2x_0\left( x_0-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow x_0=0$ (nhận) hoặc $x_0=1$ (loại).
Vậy phương trình tiếp tuyến $a:y-f(0)=f'(0)(x-0)\Leftrightarrow a:y=-x$.
a) Phương trình tiếp tuyến của $(H)$ tại $M$ có hệ số góc $f'(2)=-1$ là:
$y-f(2)=f'(2)(x-2) \\ \Leftrightarrow y-2=-1(x-2) \\ \Leftrightarrow y=-x+4.$
b) Gọi $d_1$ là tiếp tuyến cần tìm của $(H)$ và $M_0\left( x_0;f\left( x_0 \right) \right)$ là tiếp điểm của $(H)$ và $d_1$.
Vì $d_1\parallel d$ nên $f'\left( x_0 \right)=-1$.
Suy ra $-\frac{1}{\left( x_0-1 \right)^2}=-1\Leftrightarrow \left( x_0-1 \right)^2=1\Leftrightarrow x_0-1=1$ hoặc $x_0-1=-1$ $\Leftrightarrow x_0=2$ hoặc $x_0=0$.
- Với $x_0=2$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(2;2)$ có hệ số góc $f'(2)=-1$ là:
$y-f(2)=f'(2)(x-2) \\ \Leftrightarrow y-2=-1(x-2) \\ \Leftrightarrow y=-x+4.$
- Với $x_0=0$, phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(0;0)$ có hệ số góc $f'(0)=-1$ là:
$y-f(0)=f'(0)(x-0) \\ \Leftrightarrow y-0=-1(x-0)$
$\Leftrightarrow y=-x$ (loại vì trùng với đường thẳng $d$).
Vậy tiếp tuyến của $(H)$ song song với đường thẳng $d$ là $d_1:y=-x+4$.
c) Gọi $a$ là tiếp tuyến cần tìm của $(H)$ và $A\left( x_0,f\left( x_0 \right) \right)$ là tiếp điểm của $H$ và $a$. Phương trình tiếp tuyến $a$ là:
$y-f\left( x_0 \right)=f'\left( x_0 \right)\left( x-x_0 \right).$
Vì $a$ qua điểm $N(1;-1)$ nên $-1-\frac{x_0}{x_0-1}=-\frac{1}{\left( x_0-1 \right)^2}\left( 1-x_0 \right)$
$\Leftrightarrow 2x_0\left( x_0-1 \right)=0$
$\Leftrightarrow x_0=0$ (nhận) hoặc $x_0=1$ (loại).
Vậy phương trình tiếp tuyến $a:y-f(0)=f'(0)(x-0)\Leftrightarrow a:y=-x$.