Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 33
Cho hàm số $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{2}}{2}\,\,\,\,\,\text{ khi }\,x\leq 1 \\ ax+b\,\text{ khi }\,x>1 \end{array} \right.$. Với giá trị nào sau đây của $a,\,b$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$?
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ta có $a+b=\frac{1}{2}$.
Hàm số có đạo hàm tại $x=1$ nên giới hạn 2 bên của $\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$ bằng nhau và ta có:
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{ax+b-\frac{1}{2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{ax+b-\left( a+b \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{a\left( x-1 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}a=a$
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}{2\left( x-1 \right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\left( x+1 \right)}{2}=1$
Vậy $a=1;b=-\frac{1}{2}$.
Hàm số có đạo hàm tại $x=1$ nên giới hạn 2 bên của $\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$ bằng nhau và ta có:
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{ax+b-\frac{1}{2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{ax+b-\left( a+b \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{a\left( x-1 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}a=a$
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}{2\left( x-1 \right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\frac{\left( x+1 \right)}{2}=1$
Vậy $a=1;b=-\frac{1}{2}$.