Bài tự luận · Bài 25
Dạng 2. Tìm giá trị tham số để hàm số liên tục
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 25
(CTST11) Tìm các số thực $a$ và $b$ để hàm số $y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{2}+ax+2}{x-1} & \text{khi } x\neq 1 \\ b & \text{khi } x=1 \end{array} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số $y=f(x)=\frac{x^{2}+ax+2}{x-1}$ là hàm số phân thức có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
Do đó, ta cần tìm $a$ và $b$ để hàm số đã cho liên tục tại $x=1$, tức là $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)$ hay $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+2}{x-1}=b$.
Do $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)=0$ nên để giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+2}{x-1}$ tồn tại, trước hết ta phải có $\lim\limits_{x\to 1}\left( x^{2}+ax+2 \right)=0$ hay $a+3=0$, suy ra $a=-3$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x-2)=-1$, suy ra $b=-1$.
Vậy $a=-3,b=-1$ là các số cần tìm.
Do đó, ta cần tìm $a$ và $b$ để hàm số đã cho liên tục tại $x=1$, tức là $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=f(1)$ hay $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+2}{x-1}=b$.
Do $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)=0$ nên để giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+2}{x-1}$ tồn tại, trước hết ta phải có $\lim\limits_{x\to 1}\left( x^{2}+ax+2 \right)=0$ hay $a+3=0$, suy ra $a=-3$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}+ax+2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}(x-2)=-1$, suy ra $b=-1$.
Vậy $a=-3,b=-1$ là các số cần tìm.