Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 12
Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$, ta có
a) $b^2-c^2=a(b\cos C-c\cos B)$.
b) $(b^2-c^2)\cos A=a(c\cos C-b\cos B)$.
a) $b^2-c^2=a(b\cos C-c\cos B)$.
b) $(b^2-c^2)\cos A=a(c\cos C-b\cos B)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ và $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Suy ra $b^2-c^2=c^2-b^2+2a(b\cos C-c\cos B)$ $\Rightarrow2(b^2-c^2)=2a(b\cos C-c\cos B)$
$\Rightarrow b^2-c^2=a(b\cos C-c\cos B)$.
b) Ta có $a(c\cos C-b\cos B)=a\left(\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{2ab}-\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{2ac}\right)$
$=\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{2b}-\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{2c}$
$=\frac{c^2(a^2+b^2-c^2)-b^2(a^2+c^2-b^2)}{2bc}$
$=\frac{(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{2bc}=(b^2-c^2)\cos A$.
Suy ra $b^2-c^2=c^2-b^2+2a(b\cos C-c\cos B)$ $\Rightarrow2(b^2-c^2)=2a(b\cos C-c\cos B)$
$\Rightarrow b^2-c^2=a(b\cos C-c\cos B)$.
b) Ta có $a(c\cos C-b\cos B)=a\left(\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{2ab}-\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{2ac}\right)$
$=\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{2b}-\frac{b(a^2+c^2-b^2)}{2c}$
$=\frac{c^2(a^2+b^2-c^2)-b^2(a^2+c^2-b^2)}{2bc}$
$=\frac{(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{2bc}=(b^2-c^2)\cos A$.