Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 13
Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$, ta có
a) $a=r\left(\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}\right)$.
b) $h_a=2R\sin B\sin C$.
a) $a=r\left(\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}\right)$.
b) $h_a=2R\sin B\sin C$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Xét hai tam giác vuông $IEB,IEC$. Ta có $\cot\frac{B}{2}=\frac{BE}{r}\Rightarrow BE=r\cot\frac{B}{2}$, $\cot\frac{C}{2}=\frac{CE}{r}\Rightarrow CE=r\cot\frac{C}{2}$.
Do đó $a=BC=BE+EC=r\left(\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}\right)$.
b) Ta có $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bc\sin A$.
Suy ra $\frac{1}{2}\cdot2R\sin A\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot2R\sin B\cdot2R\sin C\cdot\sin A\Rightarrow h_a=2R\sin B\sin C$.
Do đó $a=BC=BE+EC=r\left(\cot\frac{B}{2}+\cot\frac{C}{2}\right)$.
b) Ta có $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bc\sin A$.
Suy ra $\frac{1}{2}\cdot2R\sin A\cdot h_a=\frac{1}{2}\cdot2R\sin B\cdot2R\sin C\cdot\sin A\Rightarrow h_a=2R\sin B\sin C$.