Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 14
Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$, ta có
a) $S=2R^2\sin A\sin B\sin C$.
b) $S=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2\cdot AC^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}$.
a) $S=2R^2\sin A\sin B\sin C$.
b) $S=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2\cdot AC^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Dùng định lý diện tích, định lí sin ta có $S=\frac{abc}{4R}=\frac{2R\sin A\cdot2R\sin B\cdot2R\sin C}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C$.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos A=bc\cos A$
nên $AB^2\cdot AC^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2=b^2c^2-b^2c^2\cos^2A=b^2c^2(1-\cos^2A)=b^2c^2\sin^2A=4S^2$.
Vậy $S=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2\cdot AC^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}$.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos A=bc\cos A$
nên $AB^2\cdot AC^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2=b^2c^2-b^2c^2\cos^2A=b^2c^2(1-\cos^2A)=b^2c^2\sin^2A=4S^2$.
Vậy $S=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2\cdot AC^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}$.