Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 16

Giả sử $ABCD$ là tứ giác nội tiếp với độ dài cạnh $a,b,c,d$.
Khi đó $\widehat A+\widehat C=180^\circ$ nên $\sin C=\sin A;\,\cos C=-\cos A$.

Ta có $S=S_{ABD}+S_{CDB}=\frac{1}{2}ad\sin A+\frac{1}{2}bc\sin C$.
Vậy $2S=(ad+bc)\sin A$, suy ra $\sin A=\frac{2S}{ad+bc}$.
Mặt khác, xét các tam giác $ABD$ và $BCD$ có
$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A\\=b^2+c^2-2bc\cos C=b^2+c^2+2bc\cos A$.
Suy ra $a^2+d^2-b^2-c^2=2(ad+bc)\cos A$ nên $\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$.
Do $\cos^2A+\sin^2A=1$ nên $16S^2+(a^2+d^2-b^2-c^2)^2=4(ad+bc)^2$. Suy ra
$16S^2=[2(ad+bc)]^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2$
$=(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)(2ad+2bc-a^2-d^2+b^2+c^2)$
$=[(a+d)^2-(b-c)^2]\cdot[(b+c)^2-(a-d)^2]$
$=(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)$
$=(2p-2c)(2p-2b)(2p-2d)(2p-2a)$
$=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$.