Bài tự luận · Bài 6
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 6
(CTST11) Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm $x=-1$.
a) $y=f(x)=\frac{2x^{2}+5x}{x-1}$
b) $y=g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{3}+1}{x+1} & \text{khi } x\neq -1 \\ 0 & \text{khi } x=-1 \end{array} \right.$
a) $y=f(x)=\frac{2x^{2}+5x}{x-1}$
b) $y=g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^{3}+1}{x+1} & \text{khi } x\neq -1 \\ 0 & \text{khi } x=-1 \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$, chứa điểm -1.
Ta có: $f(-1)=\frac{2\cdot (-1)^{2}+5\cdot (-1)}{-1-1}=\frac{3}{2}$;
$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x\to -1}f(x) & =\lim\limits_{x\to -1}\frac{2x^{2}+5x}{x-1}=\frac{\lim\limits_{x\to -1}\left( 2x^{2}+5x \right)}{\lim\limits_{x\to -1}(x-1)}=\frac{2\left( \lim\limits_{x\to -1}x \right)^{2}+5\lim\limits_{x\to -1}x}{\lim\limits_{x\to -1}x-1} \\ & =\frac{2(-1)^{2}+5(-1)}{-1-1}=\frac{3}{2}. \end{array}$
Suy ra $\lim\limits_{x\to -1}f(x)=f(-1)$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x=-1$.
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$, chứa điểm $-1$.
Ta có: $g(-1)=0$;
$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x\to -1}g(x) & =\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{3}+1}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1}\frac{(x+1)\left( x^{2}-x+1 \right)}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1}\left( x^{2}-x+1 \right) \\ & =\left( \lim\limits_{x\to -1}x \right)^{2}-\lim\limits_{x\to -1}x+1=(-1)^{2}-(-1)+1=3. \end{array}$
Suy ra $\lim\limits_{x\to -1}g(x)\neq g(-1)$.
Vậy hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại điểm $x=-1$.
Ta có: $f(-1)=\frac{2\cdot (-1)^{2}+5\cdot (-1)}{-1-1}=\frac{3}{2}$;
$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x\to -1}f(x) & =\lim\limits_{x\to -1}\frac{2x^{2}+5x}{x-1}=\frac{\lim\limits_{x\to -1}\left( 2x^{2}+5x \right)}{\lim\limits_{x\to -1}(x-1)}=\frac{2\left( \lim\limits_{x\to -1}x \right)^{2}+5\lim\limits_{x\to -1}x}{\lim\limits_{x\to -1}x-1} \\ & =\frac{2(-1)^{2}+5(-1)}{-1-1}=\frac{3}{2}. \end{array}$
Suy ra $\lim\limits_{x\to -1}f(x)=f(-1)$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x=-1$.
b) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$, chứa điểm $-1$.
Ta có: $g(-1)=0$;
$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x\to -1}g(x) & =\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{3}+1}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1}\frac{(x+1)\left( x^{2}-x+1 \right)}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1}\left( x^{2}-x+1 \right) \\ & =\left( \lim\limits_{x\to -1}x \right)^{2}-\lim\limits_{x\to -1}x+1=(-1)^{2}-(-1)+1=3. \end{array}$
Suy ra $\lim\limits_{x\to -1}g(x)\neq g(-1)$.
Vậy hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại điểm $x=-1$.