Bài tự luận · Bài 7
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số
Bài tự luận Hàm số liên tục · Bài 7
(CTST11) Xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x|x-3|}{x-3} & \text{khi } x\neq 3 \\ 3 & \text{khi } x=3 \end{array} \right.$ tại điểm $x=3$.
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$, chứa điểm 3.
Ta có: $f(3)=3$;
Khi $x>3,f(x)=\frac{x(x-3)}{x-3}=x$ nên $\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{+}}x=3$;
Khi $x < 3,f(x)=\frac{x(3-x)}{x-3}=-x$ nên $\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}(-x)=-3$.
Do $\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)\neq \lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 3}f(x)$.
Do đó, hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại điểm $x=3$.
Ta có: $f(3)=3$;
Khi $x>3,f(x)=\frac{x(x-3)}{x-3}=x$ nên $\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{+}}x=3$;
Khi $x < 3,f(x)=\frac{x(3-x)}{x-3}=-x$ nên $\lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 3^{-}}(-x)=-3$.
Do $\lim\limits_{x\to 3^{+}}f(x)\neq \lim\limits_{x\to 3^{-}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 3}f(x)$.
Do đó, hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại điểm $x=3$.