Bài tập nâng cao · Bài 35
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 35
Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh bằng $ 4a $. Chân đường cao hạ từ đỉnh $ S $ lên mặt phẳng đáy là điểm $ H $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ AB=4AH $, góc tạo bởi đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { o } $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BC $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ SH⊥\left ( { ABC } \right ) $$ \Rightarrow \left ( { SC,\left ( { ABC } \right ) } \right )= \widehat { SCH }=60 ^ { o } $.
$ HC ^ { 2 } =AC ^ { 2 } +AH ^ { 2 } -2AC.AH.cos60 ^ { o } $$ =16a ^ { 2 } +a ^ { 2 } -2.4a.a\frac { 1 } { 2 }=13a ^ { 2 } $
$ \Rightarrow HC=a\sqrt[] { 13 }\Rightarrow SH=HC.tan60 ^ { { \rm{ o } } } =a\sqrt[] { 39 } $.
Dựng $ \overset\rightarrow { A{ \rm{ D } } }=\overset\rightarrow { CB }\Rightarrow A{ \rm{ D } }{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }CB\Rightarrow BC{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { SA{ \rm{ D } } } \right ) $
$ \Rightarrow d\left ( { SA;BC } \right )=d\left ( { BC;\left ( { SAD } \right ) } \right )=d\left ( { B;\left ( { SAD } \right ) } \right )=4d\left ( { H;\left ( { SAD } \right ) } \right ) $.
Dựng $ HE⊥A{ \rm{ D } } $ tại $ E\Rightarrow AD⊥\left ( { SHE } \right )\Rightarrow \left ( { SAD } \right )⊥\left ( { SHE } \right ) $.
Dựng $ HF⊥SE $ tại $ F\Rightarrow HF⊥\left ( { SAD } \right )\Rightarrow HF=d\left ( { H;\left ( { SAD } \right ) } \right ) $.
Mặt khác, $ HE=AHsin60 ^ { o } =\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
$ \frac { 1 } { HF ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }=\frac { 4 } { 3a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 39a ^ { 2 } }=\frac { 53 } { 39a ^ { 2 } }\Rightarrow HF=\frac { a\sqrt[] { 2067 } } { 53 }\Rightarrow d\left ( { B;\left ( { SAD } \right ) } \right )=\frac { 4a\sqrt[] { 2067 } } { 53 } $.
Vậy $ d\left ( { SA;BC } \right )=\frac { 4a\sqrt[] { 2067 } } { 53 } $.