Bài tập nâng cao · Bài 36
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 36
Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có đáy $ ABC $là tam giác đều cạnh $ a $. Cạnh bên $ AA'=a\sqrt[] { 2 } $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ A'B $và $ B'C $ là:
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ M $là trung điểm $ AC $, $ E=AB'∩A'B\Rightarrow E $là trung điểm của $ AB' $
Khi đó $ B'C//ME\Rightarrow B'C//\left ( { A'BM } \right ) $
$ \Rightarrow d\left ( { B'C,A'B } \right )=d\left ( { B'C,\left ( { A'BM } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { A'BM } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { A'BM } \right ) } \right ) $ (*)
Trong mặt phẳng $ \left ( { A'AM } \right ): $kẻ$ AH⊥A'M $ (1)
Do $ \Delta ABC $ đều $ \Rightarrow BM⊥AC $
$ ABC.A'B'C' $ là hình lăng trụ đứng $ \Rightarrow AA'⊥\left ( { ABC } \right )\Rightarrow AA'⊥BM $
Nên $ BM⊥\left ( { A'AM } \right )\Rightarrow BM⊥AH $ (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AH⊥\left ( { A'BM } \right )\Rightarrow d\left ( { A,\left ( { A'BM } \right ) } \right )=AH $(**)
Trong tam giác $ A'AM $vuông tại $ A $, $ AH $ là đường cao:
$ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { A'A ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2a ^ { 2 } }+\frac { 4 } { a ^ { 2 } }=\frac { 9 } { 2a ^ { 2 } }\Rightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $ (***)
Từ (*), (**), (***) $ \Rightarrow d\left ( { A'B,B'C } \right )=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $.
Khi đó $ B'C//ME\Rightarrow B'C//\left ( { A'BM } \right ) $
$ \Rightarrow d\left ( { B'C,A'B } \right )=d\left ( { B'C,\left ( { A'BM } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { A'BM } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { A'BM } \right ) } \right ) $ (*)
Trong mặt phẳng $ \left ( { A'AM } \right ): $kẻ$ AH⊥A'M $ (1)
Do $ \Delta ABC $ đều $ \Rightarrow BM⊥AC $
$ ABC.A'B'C' $ là hình lăng trụ đứng $ \Rightarrow AA'⊥\left ( { ABC } \right )\Rightarrow AA'⊥BM $
Nên $ BM⊥\left ( { A'AM } \right )\Rightarrow BM⊥AH $ (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AH⊥\left ( { A'BM } \right )\Rightarrow d\left ( { A,\left ( { A'BM } \right ) } \right )=AH $(**)
Trong tam giác $ A'AM $vuông tại $ A $, $ AH $ là đường cao:
$ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { A'A ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2a ^ { 2 } }+\frac { 4 } { a ^ { 2 } }=\frac { 9 } { 2a ^ { 2 } }\Rightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $ (***)
Từ (*), (**), (***) $ \Rightarrow d\left ( { A'B,B'C } \right )=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $.