Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 34

Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $và $ DB $.
Gọi $ K $ là hình chiếu của $ C $lên cạnh $ OC' $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} DB//D'B',\,\,D'B'⊂\left ( { AD'B' } \right ) \\ DC'//AB',\,\,AB'⊂\left ( { AD'B' } \right ) \\ DB∩DC'=\left \{ \begin{array}{l} D \end{array} \right \} \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { DBC' } \right )//\left ( { AD'B' } \right ) $
$ \Rightarrow d\left ( { \left ( { DBC' } \right ),\left ( { AD'B' } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { DBC' } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { DBC' } \right ) } \right ) $.
Mà $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥OC,\,\,OC⊂\left ( { COC' } \right ) \\ BD⊥CC',\,\,CC'⊂\left ( { COC' } \right ) \\ OC∩CC'=\left \{ \begin{array}{l} C \end{array} \right \} \end{array} \right.\Rightarrow BD⊥\left ( { COC' } \right )\Rightarrow BD⊥CK $.
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} CK⊥BD,\,\,BD⊂\left ( { DBC' } \right ) \\ CK⊥OC',\,\,OC'⊂\left ( { DBC' } \right ) \\ BD∩OC'=\left \{ \begin{array}{l} O \end{array} \right \} \end{array} \right.\Rightarrow CK⊥\left ( { DBC' } \right )\Rightarrow d\left ( { C,\left ( { DBC' } \right ) } \right )=CK $.
Do tam giác $ OCC' $ vuông tại $ C $đường cao $ CK $và tam giác $ DBC $ vuông tại $ C $đường cao $ CO $$ \Rightarrow \frac { 1 } { CK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { CO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { {CC'} ^ { 2 } }=\frac { 1 } { CB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { CD ^ { 2 } }+\frac { 1 } { {CC'} ^ { 2 } }=\frac { 3 } { 4a ^ { 2 } }\Rightarrow CK=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 }a $.
Vậy $ d\left ( { \left ( { DBC' } \right ),\left ( { AD'B' } \right ) } \right )=CK=\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 }a $.