Bài tập nâng cao · Bài 33
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 33
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông tâm $ O $ cạnh bằng $ a $, cạnh bên $ SA=2a $. Hình chiếu vuông góc của $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là trung điểm $ H $ của đoạn $ AO $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SD $ và $ AB $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ AB//\,CD\Rightarrow d\left ( { AB\,,\,SD } \right )=d\left ( { AB\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $.
Mặt khác $ AC=\frac { 4 } { 3 }HC\Rightarrow d\left ( { A\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }d\left ( { H\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $.
Kẻ $ HK//\,AD\,\left ( { K\in CD } \right )\Rightarrow HK⊥CD $.
Kẻ $ HI⊥SK\,\left ( { I\in SK } \right )\Rightarrow HI⊥\left ( { SCD } \right )\Rightarrow d\left ( { H\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=HI $.
Ta có $ AC=a\sqrt[] { 2 }\Rightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $.
Và $ SH ^ { 2 } =SA ^ { 2 } -AH ^ { 2 } =\frac { 31 } { 8 }a ^ { 2 } $, $ HK=\frac { 3 } { 4 }AD=\frac { 3 } { 4 }a $
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $ SHK $
Ta có $ \frac { 1 } { HI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 568 } { 279a ^ { 2 } } $$ \Rightarrow HI=a\sqrt[] { \frac { 279 } { 568 } } $.
Do đó $ d\left ( { A\,,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }HI=\frac { 2a\sqrt[] { 31 } } { \sqrt[] { 142\, } } $.