Bài tập nâng cao · Bài 32
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 32
Cho hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ cạnh $ a $. Tính khoảng cách $ d $ giữa hai đường thẳng $ AD' $ và $ BD $.
Xem lời giải
Lời giải
Có $ AD'⊂\left ( { AB'D' } \right ),BD//B'D'⊂\left ( { AB'D' } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { AD',BD } \right )=d\left ( { BD,\left ( { AB'D' } \right ) } \right )=d\left ( { O,\left ( { AB'D' } \right ) } \right ) $.
Gọi $ O,O' $ lần lượt là hai tâm của hai đáy $ ABCD,A'B'C'D' $. Dựng $ OH⊥AO' $.
Ta có $ B'D'⊥OO' $ ( Vì $ OO'⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) $)
$ B'D'⊥AO $ ( Vì $ AO//A'O',A'O'⊥B'D' $)
$ \Rightarrow B'D'⊥\left ( { AOO' } \right )\Rightarrow B'D'⊥OH $.
. Có $ OH⊥AO' $ và $ OH⊥B'D'\Rightarrow OH⊥\left ( { AB'D' } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { O,\left ( { AB'D' } \right ) } \right )=OH $.
Có $ OA=\frac { AC } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $; $ OO'=AA'=a $.
$ OH=\frac { OA.OO' } { \sqrt[] { OA ^ { 2 } +{OO'} ^ { 2 } } }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }.a } { \sqrt[] { \frac { 2a ^ { 2 } } { 4 }+a ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Gọi $ O,O' $ lần lượt là hai tâm của hai đáy $ ABCD,A'B'C'D' $. Dựng $ OH⊥AO' $.
Ta có $ B'D'⊥OO' $ ( Vì $ OO'⊥\left ( { A'B'C'D' } \right ) $)
$ B'D'⊥AO $ ( Vì $ AO//A'O',A'O'⊥B'D' $)
$ \Rightarrow B'D'⊥\left ( { AOO' } \right )\Rightarrow B'D'⊥OH $.
. Có $ OH⊥AO' $ và $ OH⊥B'D'\Rightarrow OH⊥\left ( { AB'D' } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { O,\left ( { AB'D' } \right ) } \right )=OH $.
Có $ OA=\frac { AC } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $; $ OO'=AA'=a $.
$ OH=\frac { OA.OO' } { \sqrt[] { OA ^ { 2 } +{OO'} ^ { 2 } } }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }.a } { \sqrt[] { \frac { 2a ^ { 2 } } { 4 }+a ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.