Bài tập nâng cao · Bài 31
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 31
Cho hình chóp $ S.ABCD $có đáy $ ABCD $là hình vuông cạnh $ a $, $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $và $ SA=a\sqrt[] { 2 } $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ AC $và $ SB $bằng
Xem lời giải
Lời giải
Kẻ đường thẳng $ d $ qua $ B $và song song $ AC $. Gọi $ M $là hình chiếu vuông góc của $ A $lên $ d $. Gọi $ H $là hình chiếu của $ A $lên $ SM $.
Ta có: $ SA⊥BM;AM⊥BM\Rightarrow BM⊥\left ( { SAM } \right ) $nên$ AH⊥BM\Rightarrow AH⊥\left ( { SBM } \right ) $
Do đó: $ d\left ( { AC;SB } \right )=d\left ( { A;\left ( { SBM } \right ) } \right )=AH $.
Xét tam giác vuông $ SAM $có đường cao $ AH $nên $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }=\frac { 5 } { 2a ^ { 2 } }\Rightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { 5 } $.