Cho hình vuông $ ABCD $ tâm $ O $ cạnh $ a $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB $, $ N $ là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { DN }=\overset\rightarrow { CD } $. Độ dài của vectơ $ \overset\rightarrow { MN } $ bằng $ \frac { a\sqrt[] { m } } { n } $. Tính $ 2m ^ { 2 } +5n ^ { 2 } $?

Ta có véc tơ $ \overset\rightarrow { DN }=\overset\rightarrow { CD } $ suy ra $ N $ thuộc tia $ CD $ và $ CD=DN $ Qua $ N $ kẻ đường thẳng song song với $ AD $ cắt $ AB $ tại P. Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và $ PM=PA+AM=a+\frac { a } { 2 }=\frac { 3a } { 2 } $ Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông NPM ta có: $ MN ^ { 2 } =NP ^ { 2 } +PM ^ { 2 } =a ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 13a ^ { 2 } } { 4 }⇒MN=\frac { a\sqrt[] { 13 } } { 2 } $ Suy ra $ \left | { \overset\rightarrow { MN } } \right |=MN=\frac { a\sqrt[] { 13 } } { 2 } $. Vậy $ m=13,n=2⇒2m ^ { 2 } +5n ^ { 2 } =358 $.