Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 6

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).
Gọi I là trung điểm của BC, suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là $ \widehat { SIG } $.
Tam giác ABC đều cạnh bằng $ a\sqrt[] { 2 } $ nên $ GI=\frac { 1 } { 3 }\frac { a\sqrt[] { 2 }.\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 6 }. $
Theo bài ra $ \widehat { SIG }=60 ^ { 0 } $, suy ra $ GS=GI.tan \widehat { SIG }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 6 }tan60 ^ { 0 } =\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Vì $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AG∩(SBC)=I \\ \frac { AI } { GI }=3 \\ \end{array} \end{array} \right. $ nên $ d(A,(SBC))=3.d(G,(SBC)) $
Hạ $ GH⊥SI $ tại H. Dễ thấy $ \left\{ \begin{array}{l} BC⊥SI \\ BC⊥AI \end{array} \right.\Rightarrow BC⊥\left ( { SAI } \right )\Rightarrow BC⊥GH. $ Vậy $ GH⊥(SBC). $
Suy ra $ d(G,(SBC))=GH=\sqrt[] { \frac { GS ^ { 2 } .GI ^ { 2 } } { GS ^ { 2 } +GI ^ { 2 } } }=\sqrt[] { \frac { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } .\left ( { \frac { a\sqrt[] { 6 } } { 6 } } \right ) ^ { 2 } } { \frac { a ^ { 2 } } { 2 }+\frac { a ^ { 2 } } { 6 } } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $.
Vậy $ d(A,(SBC))=3.d(G,(SBC))=\frac { 3a\sqrt[] { 2 } } { 4 } $.