Bài tập nâng cao · Bài 7
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 7
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật $ AB=a,{ \rm{ } }AD=a\sqrt[] { 3 }. $ Cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=2a. $ Tính khoảng cách $ d $ từ điểm $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ). $
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ O $ là tâm của hình chữ nhật $ ABCD. $
Kẻ $ AK⊥BD $ tại $ K $ và $ AH⊥SK $ tại $ H. $
Khi đó: $ AH⊥\left ( { SBD } \right ) $ tại $ H $.
Ta có: $ AK=\frac { AB.AD } { \sqrt[] { AB ^ { 2 } +AD ^ { 2 } } }=\frac { a.a\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +\left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Do đó: $ d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=AH=\frac { SA.AK } { \sqrt[] { SA ^ { 2 } +AK ^ { 2 } } }=\frac { 2a.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { \sqrt[] { \left ( { 2a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 }. $
Vì $ AC∩\left ( { SBD } \right )=O $ và $ O $ là trung điểm của $ AC $ nên: $ d\left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 }. $
Kẻ $ AK⊥BD $ tại $ K $ và $ AH⊥SK $ tại $ H. $
Khi đó: $ AH⊥\left ( { SBD } \right ) $ tại $ H $.
Ta có: $ AK=\frac { AB.AD } { \sqrt[] { AB ^ { 2 } +AD ^ { 2 } } }=\frac { a.a\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +\left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Do đó: $ d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=AH=\frac { SA.AK } { \sqrt[] { SA ^ { 2 } +AK ^ { 2 } } }=\frac { 2a.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { \sqrt[] { \left ( { 2a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 }. $
Vì $ AC∩\left ( { SBD } \right )=O $ và $ O $ là trung điểm của $ AC $ nên: $ d\left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 }. $