Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 8

Dựng đường cao $ SH $ của tam giác $ SBC $. Vì $ \left ( { SBC } \right ) $ vuông góc với $ \left ( { ABC } \right ) $ nên $ SH⊥\left ( { ABC } \right ) $
Suy ra $ SH=SBsin30°=2a\sqrt[] { 3 }.\frac { 1 } { 2 } $$ \Leftrightarrow SH=a\sqrt[] { 3 } $.
Xét tam giác $ SBC $ ta có $ SC ^ { 2 } =SB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -2.SB.BC.cos30°=\left ( { 2a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 4a } \right ) ^ { 2 } -2.2a\sqrt[] { 3 }.4a.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $
$ \Leftrightarrow SC=2a $.
Vì $ AB⊥BC $ suy ra $ AB⊥SB $ nên tam giác $ SBA $ vuông ở $ B $ ta có $ SA ^ { 2 } =SB ^ { 2 } +AB ^ { 2 } $
Suy ra $ SA ^ { 2 } =\left ( { 2a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow SA=a\sqrt[] { 21 } $.
Tam giác $ ABC $ vuông ở $ B $ nên $ AC ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } =\left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 4a } \right ) ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow AC=5a $
Áp dụng công thức Hê-rông cho tam giác $ SAC $ ta có $ S_{ SAC } =a ^ { 2 } \sqrt[] { 21 } $.
Diện tích tam giác $ ABC $ bằng $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }AB.BC=6a ^ { 2 } $.
Thể tích khối chóp $ S.ABC $ bằng $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }{ \rm{ d } }\left ( { B,\left ( { SAC } \right ) } \right ).S_{ SAC } $.
Suy ra $ d\left ( { B,\left ( { SAC } \right ) } \right )=\frac { SH.S_{ ABC } } { S_{ SAC } }=\frac { a\sqrt[] { 3 }.6a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } \sqrt[] { 21 } }=\frac { 6a\sqrt[] { 7 } } { 7 } $.