Cho hai dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $và $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ với $ u_{ n } =\sqrt[] { n ^ { 2 } -4n+7 } $, $ v_{ n } =n $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đúng $ \lim v_{ n } =\lim n=+\infty $ b) Sai $ \lim\frac { u_{ n } } { v_{ n } }=\lim\frac { \sqrt[] { n ^ { 2 } -4n+7 } } { n }=\lim\sqrt[] { 1-\frac { 4 } { n }+\frac { 7 } { n ^ { 2 } } }=1. $ c) Đúng $ \lim u_{ n } =\lim\left ( { n.\sqrt[] { 1-\frac { 4 } { n }+\frac { 7 } { n ^ { 2 } } } } \right ) $ Do $ \lim n=+\infty $; $ \lim\sqrt[] { 1-\frac { 4 } { n }+\frac { 7 } { n ^ { 2 } } }=1>0 $, áp dụng quy tắc ta suy ra $ \lim u_{ n } =\lim\left ( { n.\sqrt[] { 1-\frac { 4 } { n }+\frac { 7 } { n ^ { 2 } } } } \right )=+\infty $ d) Sai $ \lim\left ( { u_{ n } -v_{ n } } \right )=\lim\left ( { \sqrt[] { n ^ { 2 } -4n+7 }-n } \right )=\lim\frac { \left ( { \sqrt[] { n ^ { 2 } -4n+7 }-n } \right ).\left ( { \sqrt[] { n ^ { 2 } -4n+7 }+n } \right ) } { \sqrt[] { n ^ { 2 } -4n+7 }+n } $ $ =\lim\frac { \left ( { n ^ { 2 } -4n+7-n ^ { 2 } } \right ) } { n\sqrt[] { 1-\frac { 4 } { n }+\frac { 7 } { n ^ { 2 } } }+n }=\lim\frac { -4n+7 } { n\left ( { \sqrt[] { 1-\frac { 4 } { n }+\frac { 7 } { n ^ { 2 } } }+1 } \right ) }=\lim\frac { -4+\frac { 7 } { n } } { \sqrt[] { 1-\frac { 4 } { n }+\frac { 7 } { n ^ { 2 } } }+1 }=-2 $