Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 8
Từ các chữ số $0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,8\,;\,9$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và lớn hơn $65000$?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $T=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ và $T\geq 65000$; $a_{1} ,\,a_{2} ,\,a_{3} ,\,a_{4} ,\,a_{5} \in \left\{ \begin{array}{l} 0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,8\,;\,9 \end{array} \right\}$.
Ta xét 2 trường hợp:
* Trường hợp 1: $a_{1} >6$.
+ Có 2 cách chọn $a_{1}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{2}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{3}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{4}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{5}$.
Vậy trong trường hợp này có $2\times 9\times 9\times 9\times 9=13122$ số $T$.
* Trường hợp 2: $a_{1} =6$.
+ Có 1 cách chọn $a_{1}$.
+ Có 4 cách chọn $a_{2}$ (vì $a_{2} \geq 5$).
+ Có 9 cách chọn $a_{3}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{4}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{5}$.
Vậy trong trường hợp này có $1\times 4\times 9\times 9\times 9=2916$ số $T$.
Vậy số cách chọn $T$ là $13122+2916=16038$.
Kết luận: Từ các chữ số đã cho ta lập được $16038-1=16037$ số thỏa yêu cầu bài toán (trừ đi 1 số đó là số $65000$).
Ta xét 2 trường hợp:
* Trường hợp 1: $a_{1} >6$.
+ Có 2 cách chọn $a_{1}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{2}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{3}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{4}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{5}$.
Vậy trong trường hợp này có $2\times 9\times 9\times 9\times 9=13122$ số $T$.
* Trường hợp 2: $a_{1} =6$.
+ Có 1 cách chọn $a_{1}$.
+ Có 4 cách chọn $a_{2}$ (vì $a_{2} \geq 5$).
+ Có 9 cách chọn $a_{3}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{4}$.
+ Có 9 cách chọn $a_{5}$.
Vậy trong trường hợp này có $1\times 4\times 9\times 9\times 9=2916$ số $T$.
Vậy số cách chọn $T$ là $13122+2916=16038$.
Kết luận: Từ các chữ số đã cho ta lập được $16038-1=16037$ số thỏa yêu cầu bài toán (trừ đi 1 số đó là số $65000$).