Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 9
Với các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$. Lập được bao nhiêu số có mười chữ số mà trong mỗi số chữ số $5$ có mặt đúng $4$ lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng $1$ lần.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
TH1: Số $5$ ở vị trí đầu tiên, ba số $5$ còn lại có $C_{9} ^{3}=84$ cách xếp.
Sáu chữ số còn lại có $P_{6} =720$ cách xếp.
$\Rightarrow$ có $84.720=60480$ số.
TH2: Số $5$ không ở vị trí đầu tiên có $C_{9} ^{4}=126$ cách xếp $4$ số $5$.
Vị trí đầu tiên có cách xếp $5$ cách xếp ( trừ số $0$).
$5$ vị trí còn lại có $P_{5} =120$ cách xếp.
$\Rightarrow$ có$126.5.120=75600$ số.
Vậy có thể lập được $60480+75600=136080$ số thỏa mãn bài toán.
Cách 2:
Số có 10 chữ số kể cả chữ số $0$ đứng đầu mà trong mỗi số chữ số $5$ có mặt đúng $4$ lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
+) Chọn 4 vị trí cho chữ số 5 có: $C_{10} ^{4}$ cách.
+) Xếp $6$ chữ số còn lại vào 6 vị trí có: $6!$ cách.
Nên có $C_{10} ^{4}.6!$
Số có 10 chữ số có chữ số $0$ đứng đầu mà trong mỗi số chữ số $5$ có mặt đúng $4$ lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
+) Chọn vị trí cho chữ số $0$ có: 1.
+) Chọn 4 vị trí cho chữ số 5 có: $C_{9} ^{4}$ cách.
+) Xếp $5$ chữ số còn lại vào 5 vị trí có: $5!$ cách.
Nên có $C_{9} ^{4}.5!$
Vậy có $C_{10} ^{4}.6!-C_{9} ^{4}.5!=136080$số thoả mãn.
TH1: Số $5$ ở vị trí đầu tiên, ba số $5$ còn lại có $C_{9} ^{3}=84$ cách xếp.
Sáu chữ số còn lại có $P_{6} =720$ cách xếp.
$\Rightarrow$ có $84.720=60480$ số.
TH2: Số $5$ không ở vị trí đầu tiên có $C_{9} ^{4}=126$ cách xếp $4$ số $5$.
Vị trí đầu tiên có cách xếp $5$ cách xếp ( trừ số $0$).
$5$ vị trí còn lại có $P_{5} =120$ cách xếp.
$\Rightarrow$ có$126.5.120=75600$ số.
Vậy có thể lập được $60480+75600=136080$ số thỏa mãn bài toán.
Cách 2:
Số có 10 chữ số kể cả chữ số $0$ đứng đầu mà trong mỗi số chữ số $5$ có mặt đúng $4$ lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
+) Chọn 4 vị trí cho chữ số 5 có: $C_{10} ^{4}$ cách.
+) Xếp $6$ chữ số còn lại vào 6 vị trí có: $6!$ cách.
Nên có $C_{10} ^{4}.6!$
Số có 10 chữ số có chữ số $0$ đứng đầu mà trong mỗi số chữ số $5$ có mặt đúng $4$ lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần.
+) Chọn vị trí cho chữ số $0$ có: 1.
+) Chọn 4 vị trí cho chữ số 5 có: $C_{9} ^{4}$ cách.
+) Xếp $5$ chữ số còn lại vào 5 vị trí có: $5!$ cách.
Nên có $C_{9} ^{4}.5!$
Vậy có $C_{10} ^{4}.6!-C_{9} ^{4}.5!=136080$số thoả mãn.