Cho khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $có đáy $ ABC $là tam giác vuông tại $ A, AB=a,\,\,BC=2a $. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $ A' $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là trung điểm $ H $của cạnh$ AC $. Góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { BCB'C' } \right ) $và $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { 0 } $. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $ \frac { k\sqrt[] { k } } { m }a ^ { 3 } $, trong đó $ k,\,m $ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị biểu thức $ m-k $.

Ta có $ BC=a\sqrt[] { 3 } $. Từ $ H $kẻ $ HI $vuông góc với$ BC $. Ta có $ ΔHIC\sim ΔBAC $nên $ \frac { HI } { AB }=\frac { HC } { BC }⇒HI=\frac { AB.HC } { BC }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $. Gọi $ K $là trung điểm của$ A'C' $. Từ $ K $ kẻ $ KM $vuông góc với$ B'C' $. Ta có $ ΔKMC'=ΔHIC $ nên $ KM=IH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $. Gọi $ N $là điểm trên $ B'C' $ sao cho $ MN=MC' $ $ ⇒A'N=2KM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Do $ A'H⊥\left ( { ABC } \right ) $ nên $ \left ( { A'NIH } \right )⊥\left ( { ABC } \right ) $ $ ⇒NI⊥BC $. Hình thang vuông $ A'NIH $ có $ A'N>HI $nên $ \widehat { HIN } $ là góc tù. Suy ra $ \widehat { HIN }=120 ^ { 0 } ⇒ \widehat { A'NI }=60 ^ { 0 } $. Gọi $ H' $ là hình chiếu của $ I $lên $ A'N $suy ra $ H' $ là trung điểm của $ A'N $. $ ⇒A'H=IH'=NH'.\tan60 ^ { 0 } =\frac { 3a } { 4 } $. Do đó thể tích khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ là $ V=A'H.S_{ ABC } =\frac { 3a } { 4 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 8 } $. Suy ra $ k=3 $, $ m=8 $. Do đó $ m-k=5 $.