Bài tự luận · Bài 63
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 63
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng là $M(2;0);N(4;2);P(1;3)$.
a. Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.
b. Trọng tâm hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có trùng nhau không? Vì sao?
a. Tìm tọa độ các điểm $A,B,C$.
b. Trọng tâm hai tam giác $ABC$ và $MNP$ có trùng nhau không? Vì sao?
Xem lời giải
Lời giải
a. Có: $M(2;0)$ là trung điểm của $BC\Rightarrow x_B+x_C=2\cdot2=4;y_B+y_C=2\cdot0=0$ $(1)$.
$N(4;2)$ là trung điểm của $CA\Rightarrow x_A+x_C=2\cdot4=8;y_A+y_C=2\cdot2=4$ $(2)$.
$P(1;3)$ là trung điểm của $AB\Rightarrow x_A+x_B=2\cdot1=2;y_A+y_B=2\cdot3=6$ $(3)$.
$(2)-(1)$ ta được: $x_A-x_B=4;y_A-y_B=4$ $(4)$.
$(3)+(4)$ ta được: $x_A=3;y_A=5$ thay vào $(4)$ được:
$x_B=-1;y_B=1$ thay vào $(1)$ được:
$x_C=5;y_C=-1$.
b. Gọi $G;G'$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $ABC$ và $MNP$.
$\Rightarrow x_G=\frac{3-1+5}{3};y_G=\frac{5+1-1}{3}\Rightarrow G\left(\frac{7}{3};\frac{5}{3}\right)$.
$x_{G'}=\frac{2+4+1}{3};y_{G'}=\frac{0+2+3}{3}\Rightarrow G'\left(\frac{7}{3};\frac{5}{3}\right)$.
Từ (i) và (ii) $\Rightarrow$ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và trọng tâm $G'$ của tam giác $MNP$ trùng nhau.
$N(4;2)$ là trung điểm của $CA\Rightarrow x_A+x_C=2\cdot4=8;y_A+y_C=2\cdot2=4$ $(2)$.
$P(1;3)$ là trung điểm của $AB\Rightarrow x_A+x_B=2\cdot1=2;y_A+y_B=2\cdot3=6$ $(3)$.
$(2)-(1)$ ta được: $x_A-x_B=4;y_A-y_B=4$ $(4)$.
$(3)+(4)$ ta được: $x_A=3;y_A=5$ thay vào $(4)$ được:
$x_B=-1;y_B=1$ thay vào $(1)$ được:
$x_C=5;y_C=-1$.
b. Gọi $G;G'$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $ABC$ và $MNP$.
$\Rightarrow x_G=\frac{3-1+5}{3};y_G=\frac{5+1-1}{3}\Rightarrow G\left(\frac{7}{3};\frac{5}{3}\right)$.
$x_{G'}=\frac{2+4+1}{3};y_{G'}=\frac{0+2+3}{3}\Rightarrow G'\left(\frac{7}{3};\frac{5}{3}\right)$.
Từ (i) và (ii) $\Rightarrow$ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ và trọng tâm $G'$ của tam giác $MNP$ trùng nhau.