Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước
Phương pháp
Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M.
-Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì
$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$.
-Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì
$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 64
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;4);B(-1;1);C(-8;2)$.
a. Tính số đo góc $ABC$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).
b. Tính chu vi của tam giác $ABC$.
c. Tìm tọa độ điểm $M$ trên đường thẳng $BC$ sao cho diện tích của tam giác $ABC$ bằng hai lần diện tích của tam giác $ABM$.
Xem lời giải
Lời giải
a. Có: $\overrightarrow{BA}=(3;3);\overrightarrow{CB}=(7;-1);\overrightarrow{CA}=(10;2)$.
$\|\overrightarrow{BA}\|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt2;\|\overrightarrow{CB}\|=\sqrt{7^2+(-1)^2}=5\sqrt2;\|\overrightarrow{CA}\|=\sqrt{10^2+2^2}=2\sqrt{26}$.
- $\cos\widehat{ACB}=\cos(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB})=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CA}\|\cdot\|\overrightarrow{CB}\|}=\frac{68}{2\sqrt{26}\cdot5\sqrt2}\approx0,943$.
$\widehat{ACB}=19,44^\circ$.
Có: $\overrightarrow{BA}=(3;3);\overrightarrow{BC}=(-7;1)$.
- $\cos\widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\|\cdot\|\overrightarrow{BC}\|}=\frac{-18}{3\sqrt2\cdot5\sqrt2}=-0,6$.
$\widehat{ABC}=126,87^\circ$.
Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180^\circ$ (ĐL tổng ba góc trong tam giác).
$\Rightarrow\widehat{BAC}=180^\circ-(\widehat{ABC}+\widehat{ACB})=33,69^\circ$.
b. Chu vi của tam giác $ABC$ là:
$3\sqrt2+5\sqrt2+2\sqrt{26}\approx21,5$.
c.
$S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC;\quad S_{ABM}=\frac12\cdot AH\cdot BM;\quad S_{ABC}=2S_{ABM}$
$\Leftrightarrow\frac12\cdot AH\cdot BC=2\cdot\frac12\cdot AH\cdot BM\Leftrightarrow BC=2BM\Leftrightarrow BM=\frac12BC$.
Vì $M$ thuộc đường thẳng $BC$, có hai điểm thoả mãn: $M_1$ là trung điểm của $BC$, nên $M_1\left(-\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2}\right)$; điểm còn lại nằm trên tia đối của tia $BC$ và có $\overrightarrow{BM_2}=-\dfrac12\overrightarrow{BC}$, nên $M_2\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
