Bài tự luận · Bài 62
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 62
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$. Các điểm $M(1;-2),N(4;-1)$ và $P(6;2)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Tìm tọa độ của các điểm $A,B,C$.
Xem lời giải
Lời giải
$M(1;-2);N(4;-1)$ và $P(6;2)$.
- Vì $M$ là trung điểm của $BC\Leftrightarrow\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$
$\Leftrightarrow(1-x_B;-2-y_B)=(x_C-1;y_C+2)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-x_B=x_C-1\\-2-y_B=y_C+2\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_B+x_C=2\\y_B+y_C=-4\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=2-x_B\\y_C=-4-y_B\end{array}\right.$
Vì $N$ là trung điểm của $AC\Leftrightarrow\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$
$\Leftrightarrow(4-x_A;-1-y_A)=(x_C-4;y_C+1)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4-x_A=x_C-4\\-1-y_A=y_C+1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A+x_C=8\\y_A+y_C=-2\end{array}\right.$
- Vì $P$ là trung điểm của $AB$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}\Leftrightarrow(6-x_A;2-y_A)=(x_B-6;y_B-2)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6-x_A=x_B-6\\2-y_A=y_B-2\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A+x_B=12\\y_A+y_B=4\end{array}\right.$
Thay $(1)$ vào $(2)$ được: $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A+2-x_B=8\\y_A-4-y_B=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A-x_B=6\\y_A-y_B=2\end{array}\right.$
Từ $(3)$ và $(4)$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A=9\\y_A=3\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_B=3\\y_B=1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=-1\\y_C=-5\end{array}\right.$
Vậy $A(9;3);B(3;1);C(-1;-5)$.
- Vì $M$ là trung điểm của $BC\Leftrightarrow\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$
$\Leftrightarrow(1-x_B;-2-y_B)=(x_C-1;y_C+2)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-x_B=x_C-1\\-2-y_B=y_C+2\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_B+x_C=2\\y_B+y_C=-4\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=2-x_B\\y_C=-4-y_B\end{array}\right.$
Vì $N$ là trung điểm của $AC\Leftrightarrow\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$
$\Leftrightarrow(4-x_A;-1-y_A)=(x_C-4;y_C+1)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4-x_A=x_C-4\\-1-y_A=y_C+1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A+x_C=8\\y_A+y_C=-2\end{array}\right.$
- Vì $P$ là trung điểm của $AB$
$\Leftrightarrow\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}\Leftrightarrow(6-x_A;2-y_A)=(x_B-6;y_B-2)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6-x_A=x_B-6\\2-y_A=y_B-2\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A+x_B=12\\y_A+y_B=4\end{array}\right.$
Thay $(1)$ vào $(2)$ được: $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A+2-x_B=8\\y_A-4-y_B=-2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A-x_B=6\\y_A-y_B=2\end{array}\right.$
Từ $(3)$ và $(4)$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A=9\\y_A=3\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_B=3\\y_B=1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=-1\\y_C=-5\end{array}\right.$
Vậy $A(9;3);B(3;1);C(-1;-5)$.