Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là trung điểm $ BC $. Biết $ AC=3 $, $ BC=8 $, $ \cos \widehat { AMC }=\frac { 5\sqrt[] { 13 } } { 26 } $. Tính số đo góc lớn nhất của tam giác $ ABC $ tạo thành (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, đơn vị độ)

Ta có $ BC=8⇒CM=4 $. Đặt $ AM=x $ Theo định lí Cô-sin ta có $ AC ^ { 2 } =AM ^ { 2 } +CM ^ { 2 } -2AM.CM.\cos \widehat { AMC } $ $ ⇔9=x ^ { 2 } +16-8x.\frac { 5\sqrt[] { 13 } } { 26 } $ $ ⇔x ^ { 2 } -\frac { 20\sqrt[] { 13 } } { 13 }x+7=0 $ $ ⇔x=\sqrt[] { 13 } $ hoặc $ x=\frac { 7\sqrt[] { 13 } } { 13 } $. Trường Hợp 1: $ AM=\sqrt[] { 13 } $. Ta có $ \cos \widehat { ACM }=\frac { AC ^ { 2 } +CM ^ { 2 } -AM ^ { 2 } } { 2AC.CM }=\frac { 3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } -13 } { 2.3.4 }=\frac { 1 } { 2 } $ $ ⇒AB ^ { 2 } =AC ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -2AC.BC.\cos \widehat { ACB } \\ ⇔AB ^ { 2 } =3 ^ { 2 } +8 ^ { 2 } -2.3.8.\frac { 1 } { 2 }=49 $ $ ⇔AB=7 $. Ta có $ BC>AB>AC $ góc $ A $ lớn nhất. Vì $ cosA=\frac { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -BC ^ { 2 } } { 2AB.AC }=-\frac { 1 } { 7 } $ $ ⇔A≈98,2° $ Trường Hợp 2: $ AM=\frac { 7\sqrt[] { 13 } } { 13 } $. Ta có $ \cos \widehat { ACM }=\frac { AC ^ { 2 } +CM ^ { 2 } -AM ^ { 2 } } { 2AC.CM }=\frac { 3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } -\frac { 49 } { 13 } } { 2.3.4 }=\frac { 23 } { 26 } $ $ ⇒AB ^ { 2 } =AC ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -2AC.BC.\cos \widehat { ACB } \\ ⇔AB ^ { 2 } =3 ^ { 2 } +8 ^ { 2 } -2.3.8.\frac { 23 } { 26 }=\frac { 397 } { 13 } $ $ ⇔AB=\sqrt[] { \frac { 397 } { 13 } } $. Ta có $ BC>AB>AC $ góc $ A $ lớn nhất. Vì $ cosA=\frac { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -BC ^ { 2 } } { 2AB.AC }=-\frac { 53 } { \sqrt[] { 5161 } }⇔A≈138° $. Từ cả 2 trường hợp ta thấy tam giác $ ABC $ có thể tạo thành sẽ có góc lớn nhất là $ 138° $.