Bài tự luận · Bài 11
Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức lượng giác
Bài tự luận Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° · Bài 11
(KNTT10) Tính giá trị của các biểu thức:
a) $A=\sin45^{\circ}+2\sin60^{\circ}+\tan120^{\circ}+\cos135^{\circ}$
b) $B=\tan45^{\circ}\cdot\cot135^{\circ}-\sin30^{\circ}\cdot\cos120^{\circ}-\sin60^{\circ}\cdot\cos150^{\circ}$
c) $C=\cos^2 5^{\circ}+\cos^2 25^{\circ}+\cos^2 45^{\circ}+\cos^2 65^{\circ}+\cos^2 85^{\circ}$
d) $D=\frac{12}{1+\tan^2 73^{\circ}}-4\tan75^{\circ}\cdot\cot105^{\circ}+12\sin^2 107^{\circ}-2\tan40^{\circ}\cdot\cos60^{\circ}\cdot\tan50^{\circ}$
e) $E=4\tan32^{\circ}\cdot\cos60^{\circ}\cdot\cot148^{\circ}+\frac{5\cot^2 108^{\circ}}{1+\tan^2 18^{\circ}}+5\sin^2 72^{\circ}$.
a) $A=\sin45^{\circ}+2\sin60^{\circ}+\tan120^{\circ}+\cos135^{\circ}$
b) $B=\tan45^{\circ}\cdot\cot135^{\circ}-\sin30^{\circ}\cdot\cos120^{\circ}-\sin60^{\circ}\cdot\cos150^{\circ}$
c) $C=\cos^2 5^{\circ}+\cos^2 25^{\circ}+\cos^2 45^{\circ}+\cos^2 65^{\circ}+\cos^2 85^{\circ}$
d) $D=\frac{12}{1+\tan^2 73^{\circ}}-4\tan75^{\circ}\cdot\cot105^{\circ}+12\sin^2 107^{\circ}-2\tan40^{\circ}\cdot\cos60^{\circ}\cdot\tan50^{\circ}$
e) $E=4\tan32^{\circ}\cdot\cos60^{\circ}\cdot\cot148^{\circ}+\frac{5\cot^2 108^{\circ}}{1+\tan^2 18^{\circ}}+5\sin^2 72^{\circ}$.
Xem lời giải
Lời giải
Đáp số:
a) $A=0$.
b) $B=0$.
c) Do $5^{\circ}=90^{\circ}-85^{\circ}$, $25^{\circ}=90^{\circ}-65^{\circ}$, nên theo tính chất 4-a), ta có $\cos5^{\circ}=\sin85^{\circ}$, $\cos25^{\circ}=\sin65^{\circ}$.
Từ đó, theo tính chất 4-c), ta được $C=\left(\sin^2 85^{\circ}+\cos^2 85^{\circ}\right)+\left(\sin^2 65^{\circ}+\cos^2 65^{\circ}\right)+\cos^2 45^{\circ}=1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.
d) Do $73^{\circ}+107^{\circ}=75^{\circ}+105^{\circ}=180^{\circ}$ nên theo hệ thức cơ bản, ta có:
$\frac{12}{1+\tan^2 73^{\circ}}+12\sin^2 107^{\circ}=12\left(\cos^2 73^{\circ}+\sin^2 73^{\circ}\right)=12$. (1)
$\tan75^{\circ}\cdot\cot105^{\circ}=\tan75^{\circ}\cdot\left(-\cot75^{\circ}\right)=-1$. (2)
Do $40^{\circ}+50^{\circ}=90^{\circ}$ nên theo hệ thức cơ bản, ta có
$\tan40^{\circ}\cdot\tan50^{\circ}=\tan40^{\circ}\cdot\cot40^{\circ}=1$. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $D=12-4\cdot(-1)-2\cdot1\cdot\frac{1}{2}=15$
e) Do $148^{\circ}+32^{\circ}=108^{\circ}+72^{\circ}=180^{\circ}$ và $72^{\circ}+18^{\circ}=90^{\circ}$ nên
$E=4\tan32^{\circ}\cdot\left(-\cot32^{\circ}\right)\cdot\cos60^{\circ}+5\left(-\cot72^{\circ}\right)^2\cdot\cos^2 18^{\circ}+5\cos^2 18^{\circ}$
$=4\cdot(-1)\cdot\frac{1}{2}+5\cdot1=3$.
a) $A=0$.
b) $B=0$.
c) Do $5^{\circ}=90^{\circ}-85^{\circ}$, $25^{\circ}=90^{\circ}-65^{\circ}$, nên theo tính chất 4-a), ta có $\cos5^{\circ}=\sin85^{\circ}$, $\cos25^{\circ}=\sin65^{\circ}$.
Từ đó, theo tính chất 4-c), ta được $C=\left(\sin^2 85^{\circ}+\cos^2 85^{\circ}\right)+\left(\sin^2 65^{\circ}+\cos^2 65^{\circ}\right)+\cos^2 45^{\circ}=1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.
d) Do $73^{\circ}+107^{\circ}=75^{\circ}+105^{\circ}=180^{\circ}$ nên theo hệ thức cơ bản, ta có:
$\frac{12}{1+\tan^2 73^{\circ}}+12\sin^2 107^{\circ}=12\left(\cos^2 73^{\circ}+\sin^2 73^{\circ}\right)=12$. (1)
$\tan75^{\circ}\cdot\cot105^{\circ}=\tan75^{\circ}\cdot\left(-\cot75^{\circ}\right)=-1$. (2)
Do $40^{\circ}+50^{\circ}=90^{\circ}$ nên theo hệ thức cơ bản, ta có
$\tan40^{\circ}\cdot\tan50^{\circ}=\tan40^{\circ}\cdot\cot40^{\circ}=1$. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $D=12-4\cdot(-1)-2\cdot1\cdot\frac{1}{2}=15$
e) Do $148^{\circ}+32^{\circ}=108^{\circ}+72^{\circ}=180^{\circ}$ và $72^{\circ}+18^{\circ}=90^{\circ}$ nên
$E=4\tan32^{\circ}\cdot\left(-\cot32^{\circ}\right)\cdot\cos60^{\circ}+5\left(-\cot72^{\circ}\right)^2\cdot\cos^2 18^{\circ}+5\cos^2 18^{\circ}$
$=4\cdot(-1)\cdot\frac{1}{2}+5\cdot1=3$.